nierownosci

[Zupa]

1. \(\displaystyle{ \left| \frac{x-1}{x+4} \right| \leqslant \left| \frac{1-x}{x-2} \right|}\)
2. \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{ \left| x-4\right| } +2\right| >3}\) mnie wychodzi \(\displaystyle{ x
(4,5)}\) a powinno byc jeszcze (3,4), gdzie błąd?
prosze o pomoc jak sie do tego zabrac:]

[piasek101]

2. \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{ \left| x-4\right| +2} \right| >3}\) mnie wychodzi \(\displaystyle{ x
(4,5)}\) a powinno byc jeszcze (3,4), gdzie błąd?
prosze o pomoc jak sie do tego zabrac:]

Mam : brak rozwiązań.

[Zupa]

moglbys rozwinąć?

[Bierut]

Zauważ, że w mianowniku nie może być liczby mniejszej od 2, bo |x-4| jest większe lub równe 0. Czyli największa wartość, jaką może mieć ten ułamek, to 1/2, więc nierówność nigdy nie zostanie spełniona.

[Zupa]

ajajaj moment, ta dwojka jest dodana do ułamka, nie zauwazylam, ze zle wpisalam, jak wysylalam post.

[Bierut]

Zad.1
\(\displaystyle{ \left|\frac{x-1}{x+4}\right|\leqslant\left|\frac{1-x}{x-2}\right|}\)

Ustalam dziedzinę:
\(\displaystyle{ x\in\mathbb R \backslash \{-4,2\}}\)

Jest moduł, więc można obustronnie podnieść do kwadratu. Potem przenosimy na jedną stronę i kożystamy ze wzoró na różnicę kwadratów (opisuję co robię, bo długo by zajęło pisanie tego w LaTeXu).
\(\displaystyle{ \left(\frac{x-1}{x+4}+\frac{1-x}{x-2}\right)\left(\frac{x-1}{x+4}-\frac{1-x}{x-2}\right)\leqslant0}\)
\(\displaystyle{ \frac{(x-1)(x-2)+(1-x)(x+4)}{(x+4)(x-2)}\cdot\frac{(x-1)(x-2)-(1-x)(x+4)}{(x+4)(x-2)}\leqslant0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-12(x-1)^2(x+1)}{(x+4)(x-2)}\leqslant0}\)
\(\displaystyle{ -12(x-1)^2(x+1)(x+4)(x-2)\leqslant0}\)

Rysujesz sobie wykres i wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x\in\{-4\}\cup\langle-1,+\infty)\\x\in\mathbb R \backslash \{-4,2\}\end{cases} \\
x\in\langle-1,2)\cup(2,+\infty)}\)

[Zupa]

dzieki piekne, nie mialam pomyslu na ten kwadrat.

a jakbym chciala, powiedzmy, powymnazac przez mianowniki (bo sa nieujemne) to tez by mi wyszlo dobrze, tylko mniej sprytnie?

pozdrawiam uczynnego czlowieka z mego miasta:]

[JankoS]

dzieki piekne, nie mialam pomyslu na ten kwadrat.

a jakbym chciala, powiedzmy, powymnazac przez mianowniki (bo sa nieujemne) to tez by mi wyszlo dobrze, tylko mniej sprytnie?

pozdrawiam uczynnego czlowieka z mego miasta:]

Pomnożyć zawzse można, tylko nie wiem, czy by to uprościło rozwiązywanie. Wprawdzie można się wtedy "pozbyć" \(\displaystyle{ |x-1|,}\) ale dyskusja rozwiązania, byłaby trochę zawiła. Można też spróbować z własności ułamków. Jeżeli x = 1, to nierównośc jest prawdziwa. Dla innych x (róznych także od 2 i -4)mamy
\(\displaystyle{ |\frac{x-1}{x+4}| \leqslant |\frac{x-1}{2-x}| \Leftrightarrow |2-x| \leqslant |x+4| \Leftrightarrow |x-2| \leqslant |x+4|.}\)
Zad.2. Rozwiązuję w \(\displaystyle{ R-\{4\}.}\)
\(\displaystyle{ |\frac{1}{|x-4|}+2|>3 (\frac{1}{|x-4|}+2 3 \\ (x \emptyset 1 |x-4| -1 3 4 ...}\)