całka podwójna

[marbibu]

Jest problem nie wiem jak postepować gdy mam: w układzie trójwymiarowym na płaszczyźnie xy okrąg styczny do punktu (0,0,0) (czyli mamy jakiś walec..), jest on ograniczony od dołu płaszczyzną z=0 i jakaś tam jeszcze plaszczyzną od góry, nieważne.. Trzeba policzyć objętość przestrzeni ograniczonej płaszczyznami zeta i walcem. Czy można to policzyć za pomocą współrzędnych biegunowych? Jeżeli tak to jakie wybrać przedziały dla kąta i promienia? Wszystko wyglądałoby prościej gdyby oś walca przechodziła przez środek układu współrzędnego... czy można jakimś zabiegiem matematycznym przesunąć ten walec na środek?

[Grzegorz t]

Owszem, można stosujemy wtedy przesuniete współrzędne biegunowe
Np. w rzucie na płaszczyznę oxy wykresu funkcji dwóch zmiennych weźmy koło o środku \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\)
wtedy współrzędne biegunowe wyglądają tak: \(\displaystyle{ x=x_0+\rho cos\phi, y=y_0+\rho sin\phi}\),
Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami wyliczysz całką podwójną z różnicy między funkcją ograniczającą ten obszar z góry i z dołu, pamietając oczywiście, że jakobian \(\displaystyle{ J=\rho}\)

[marbibu]

dzięki:)

[bedbet]

Grzegorz t nie podałeś jak zmieniać się będzie kąt \(\displaystyle{ \phi}\) i promień \(\displaystyle{ \rho}\) w takich nowych współrzędnych, a to najistotniejsza sprawa przy zmianie współrzędnych na współrzędne biegunowe (sferyczne, eliptyczne...). Bo inaczej będą się zmieniały wartości \(\displaystyle{ \phi, \ \rho}\) w Twoim przypadku, a inaczej w tym przypadku:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\rho\cos\phi\\y=\rho\sin\phi\end{cases}}\)

(chodź oczywiście obie wersje są słuszne)