Wykazać nierówność Couchy'ego

[marcin_p321]

Witam. Czy umie ktoś wykazać indukcyjnie(!) nierówność Couchy'ego (tę o średnich)?
\(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}_{+}}\forall_{a_{1},\ldots, a_{n}>0} \ \frac{a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}}\).

[robin5hood]

https://matematyka.pl/24533.htm?highligh ... %B6rednimi

\(\displaystyle{ \ln ft(\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\right)\geq \frac{1}{n}\ln\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln a_i}\), co jest nierównością Jensena dla wklęsłej \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\) i wag \(\displaystyle{ \alpha_1=\ldots = _n = \frac{1}{n}}\).

[marcin_p321]

Dzieki, ale ten "(!)" przy indukcyjnie nie znalazł się przypadkowo. I podejście do średniej arytmetycznej przez harmoniczną również nie jest tym, o co chodziło.

[Qń]

Trochę oszukam, ale za to będzie (miejscami) indukcyjnie ;>.

Lemat
Jeśli dla dodatnich liczb \(\displaystyle{ b_i}\) mamy \(\displaystyle{ b_1+b_2+ \dots + b_n = n}\), to \(\displaystyle{ b_1\cdot b_2 \dots b_n 1}\).

Dowód (indukcyjny)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nie ma co sprawdzać. Załóżmy więc, że teza jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n}\) i weźmy liczby \(\displaystyle{ b_i}\) takie, że \(\displaystyle{ b_1+b_2+ \dots + b_{n+1} = n+1}\). Ponieważ wśród liczb \(\displaystyle{ b_i}\) musi być nie większa niż jeden i nie mniejsza niż jeden, to bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ b_1 1}\), \(\displaystyle{ b_2 1}\). Z uwagi na:
\(\displaystyle{ (b_1+b_2 - 1)+ b_3 + \dots + b_{n+1} = n}\)
z założenia indukcyjnego mamy:
\(\displaystyle{ 1 (b_1+b_2 - 1) b_3 \dots b_{n+1}}\) (*)
Ale \(\displaystyle{ (b_1-1)(b_2-1) 0}\), a stąd \(\displaystyle{ b_1\cdot b_2 q b_1+b_2-1}\). Aplikując to do (*) dostajemy \(\displaystyle{ 1 b_1 b_2 b_3 \dots b_{n+1}}\), czyli to, czego mieliśmy dowieść. Kończy to dowód lematu.

Twierdzenie właściwe
Rozważmy \(\displaystyle{ n}\) liczb postaci \(\displaystyle{ b_i = \frac{na_i}{ \sum_{k=1}^{n} a_k}}\). Ich suma jest równa \(\displaystyle{ n}\) (łatwo sprawdzić), zatem na mocy lematu mamy:
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} \frac{na_i}{ \sum_{k=1}^{n} a_k} 1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} a_i q ft(\frac{\sum_{k=1}^{n} a_k}{n}\right)^n}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n} a_i} q \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n}}\)
czyli koniec.

Q.

[xiikzodz]

Standardowy dowod nierownosci pomiedzy srednimi przez indukcje (pochadzacy zreszta od Cauchy'ego) polega na tym, ze sie najpierw dowodzi dla n postaci 2^k, nastepnie stosuje sie indukcje wsteczna. Nie chce mi sie przepisywac:



Wszystko powinno byc zrozumiale. Napisze kroki dowodowe:

1. Dowodzi sie, ze jest rownosci gdy skladniki sa rowne.
2. Dowodzi sie dla n=2.
3. Dowodzi sie przez indukcje dla n postaci 2^k w ten sposob, ze sie dzieli na pol, w kazdej polowie stosuje zalozenie indukcyjne, nastepnie stosuje sie zalozenie indukcyjne dla tych polowek sklejajac w teze indukcyjna.
4. Jesli n nie jest potega 2, to dopisujemy elementy rowne sredniej arytmetycznej tak, zeby bylo. Stosujemy przypadek 2^n, przeksztalcamy i gotowe.

[marcin_p321]

Dzięki wielkie