Dowodzenie prawa rachunku kwantyfikatorów

[eryk90]

Witam!

Dopiero zaczynam swoją przygodę z logiką. Sporo pomogła mi książka p. Jana Kraszewskiego. Nie mogę sobie jednak poradzić z dowodzeniem lub obalaniem praw rachunku kwantyfikatorów. Czy może mi ktoś wyjaśnić dokładnie jak to się robi, na poniższym przykładzie?

zad. Czy zdanie jest prawem rachunku kwantyfikatorów? Jeśli tak, udowodnij, jeśli nie - podaj kontrprzykład.

\(\displaystyle{ \forall x[ (x) (x)] [\forall x (x) \exists x (x)]}\)

[Qń]

Gdyby to nie było prawo, to mielibyśmy (zaprzeczenie implikacji) :
\(\displaystyle{ \forall x[ (x) (x)] [\forall x (x) \exists x (x)]}\)
Skoro istnieje iks taki, że \(\displaystyle{ \alpha (x)}\), a ta implikacja w pierwszym nawiasie jest prawdziwa dla wszystkich iksów, to także dla tego jednego. Ale dla tego jednego iksa poprzednik implikacji jest prawdziwy (bo \(\displaystyle{ \partial (x)}\) jest prawdziwe zawsze), a następnik fałszywy (bo dla tego istniejącego iksa prawdziwe jest \(\displaystyle{ \alpha (x)}\), a nie jego negacja), czyli cała implikacja jest fałszywa, a miała być prawdziwa. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że założenie, że nie jest to prawo - było fałszywe.

Q.

[eryk90]

Dzięki, masz plusa.

W takim razie, czy ten przykład zrobiłem dobrze?

\(\displaystyle{ \forall x [ (x) (x)] [\forall x (x) \forall x (x)]}\)

Jeśli jest to prawo rachunku kwantyfikatorów, to jego przeczenie (negacja implikacji) musi być zawsze fałszywe.

\(\displaystyle{ \forall x [ (x) (x)] [\forall x (x) \forall x (x)]}\)

Aby zaprzeczenie mogło być prawdziwe, zarówno prawa, jak i lewa strona muszą być prawdziwe. Ponieważ dla każdego x \(\displaystyle{ \alpha (x)}\) oraz \(\displaystyle{ \partial (x)}\) są prawdziwe, zatem implikacja \(\displaystyle{ \forall x (x) \forall x (x)}\) zawsze jest prawdziwa. Ze względu na negację, prawa strona jest zawsze fałszywa, czyli zaprzeczenie jest zawsze fałszywe. Dowodzi to, że założenie, iż jest to prawo rachunku kwantyfikatorów jest prawidłowe.

[Jan Kraszewski]

W takim razie, czy ten przykład zrobiłem dobrze?

\(\displaystyle{ \forall x [ (x) (x)] [\forall x (x) \forall x (x)]}\)

Jeśli jest to prawo rachunku kwantyfikatorów, to jego przeczenie (negacja implikacji) musi być zawsze fałszywe.

\(\displaystyle{ \forall x [ (x) (x)] [\forall x (x) \forall x (x)]}\)

Aby zaprzeczenie mogło być prawdziwe, zarówno prawa, jak i lewa strona muszą być prawdziwe. Ponieważ dla każdego x \(\displaystyle{ \alpha (x)}\) oraz \(\displaystyle{ \partial (x)}\) są prawdziwe, zatem implikacja \(\displaystyle{ \forall x (x) \forall x (x)}\) zawsze jest prawdziwa. Ze względu na negację, prawa strona jest zawsze fałszywa, czyli zaprzeczenie jest zawsze fałszywe. Dowodzi to, że założenie, iż jest to prawo rachunku kwantyfikatorów jest prawidłowe.

Prawie dobrze. To istotnie jest prawo rachunku kwantyfikatorów, tylko argument mi się nie podoba. Skąd wiesz, że "dla każdego x \(\displaystyle{ \alpha (x)}\) oraz \(\displaystyle{ \partial (x)}\) są prawdziwe"? Lepiej jest przekształcić wyrażenie
\(\displaystyle{ \forall x [ (x) (x)] [\forall x (x) \forall x (x)]}\)
do postaci
\(\displaystyle{ \forall x [ (x) (x)] \forall x (x) [\forall x (x)]}\)
i stwierdzić, że prawdziwość tego wyrażenia oznacza, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) prawdą są \(\displaystyle{ \alpha (x)}\) i implikacja \(\displaystyle{ \alpha (x) (x)}\), co oznacza (dlaczego?), że także \(\displaystyle{ \partial (x)}\), co z kolei stoi w sprzeczności z prawdziwością wyrażenia \(\displaystyle{ \neg[\forall x (x)]}\). Ta sprzeczność oznacza, że nasze wyrażenie nie może być prawdziwe, zatem jest fałszywe, ale było ono zaprzeczeniem wyjściowego prawa, które wobec tego jest prawdziwe.
JK

[eryk90]

Dziękuję bardzo za odpowiedź . Już rozumiem o co w tym wszystkim biega.