Witam!
Ostatnio zetknąłem się z następującym szeregiem:
1 2 4 7 11 16 22 itd.
Możemy zauważyc,że róznice pomiędzy kolejnymi wyrazami tego szeregu to: 1 2 3 4 5 6...
A więc każda poprzednia róznica jest o 1 mniejsza od następnej.Różnice te tworzą szereg arytmetyczny r=1
Mam pytanie-Czy istnieje wzór na obliczenie n pierwszych wyrazów tego szergu???
Jeżeli tak będe wdzięczny za wzór!!!!!
Z niecierpliwością czekam na odpowiedź.
Z góry dziękuje.
Pozdrawiam
Względnie uporządkowany szerg
-
marcin_p321
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 25 wrz 2008, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
Względnie uporządkowany szerg
Nie wiem za bardzo, jak mam to rozumieć...
Ale istnieje!
Załóżmy, że to, co nazywasz szeregiem jest ciągiem \(\displaystyle{ a=,}\) zauważmy, że \(\displaystyle{ a==.}\) Mamy dzieki temu równanie rekurencyjne:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lc}a_{1}=1,& n=1\\ a_{n}=a_{n-1}+n-1,& n>1\end{array}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+n-1=a_{n-2}+n-2+n-1=a_{2} + 2+\ldots +n-2+n-1=1+1+2+\ldots+n-2+n-1=1+\sum_{k=1}^{n-1}k=1+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n+2}{2}}\)
Otrzymaliśmy zwarty wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
A jeśli źle zinterpretowałem prośbę, to tu jest wzór na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, bo chyba o to chodziło.
\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{(n+1)n(n-1)}{6}+n}\)
Skąd to się wzięło? Mogę dopisać, ale na życzenie, bo prosiłeś o wzory, a nie wyprowadzenia.
Pozdrawiam
Ale istnieje!
Załóżmy, że to, co nazywasz szeregiem jest ciągiem \(\displaystyle{ a=,}\) zauważmy, że \(\displaystyle{ a==.}\) Mamy dzieki temu równanie rekurencyjne:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lc}a_{1}=1,& n=1\\ a_{n}=a_{n-1}+n-1,& n>1\end{array}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+n-1=a_{n-2}+n-2+n-1=a_{2} + 2+\ldots +n-2+n-1=1+1+2+\ldots+n-2+n-1=1+\sum_{k=1}^{n-1}k=1+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n+2}{2}}\)
Otrzymaliśmy zwarty wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
A jeśli źle zinterpretowałem prośbę, to tu jest wzór na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, bo chyba o to chodziło.
\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{(n+1)n(n-1)}{6}+n}\)
Skąd to się wzięło? Mogę dopisać, ale na życzenie, bo prosiłeś o wzory, a nie wyprowadzenia.
Pozdrawiam