Niech ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) będzie określony wzorem: \(\displaystyle{ b_n=\frac{1}{a_1+a_2}+\frac{1}{a_2+a_3}+...+\frac{1}{a_n+a_{n+1}}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) jest dowolnym ciągiem arytmetycznym o wyrazach różnych od zera oraz nie jest ciągiem stałym.
Obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{n->\infty} \frac{b_n}{a_1}}\)
Granica ciągu
-
Olo
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 18 lis 2004, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 42 razy
Granica ciągu
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1)r=c+nr \ \ \ , \ \ \ c \ - \ pewna\ stala}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ dla\ n\to\infty\ i\ r>0\ b_{n}=\frac{1}{c}+\frac{1}{c+r}+...+\frac{1}{c+nr}+...>\frac{1}{a}+\frac{2}{c+3r}+\frac{4}{c+7r}+...+\frac{2^{n}}{c+(2^{n-1}-1)r}}\)
Zauważ, że wyrazu ciągu po lewej stronie zbliżają się do 0.5 r, więc szereg po lewej jest rozbieżny. Więc ciąg po lewej jest rozbieżny + nieskończoności, więc po prawej też jest rozbieżny do + nieskończoności. Granica więc zależy od znaku a1.
Oczywiście rozumowanie ma luki, bo nierówność nie jest spełniona dla a1
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1)r=c+nr \ \ \ , \ \ \ c \ - \ pewna\ stala}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ dla\ n\to\infty\ i\ r>0\ b_{n}=\frac{1}{c}+\frac{1}{c+r}+...+\frac{1}{c+nr}+...>\frac{1}{a}+\frac{2}{c+3r}+\frac{4}{c+7r}+...+\frac{2^{n}}{c+(2^{n-1}-1)r}}\)
Zauważ, że wyrazu ciągu po lewej stronie zbliżają się do 0.5 r, więc szereg po lewej jest rozbieżny. Więc ciąg po lewej jest rozbieżny + nieskończoności, więc po prawej też jest rozbieżny do + nieskończoności. Granica więc zależy od znaku a1.
Oczywiście rozumowanie ma luki, bo nierówność nie jest spełniona dla a1