Optymalizacja objętości, pola powierzchni

[staszekzorawy]

Witam! Porszę o pomoc w rozwiązaniu tych 2 zadań(mile widziane całe rozwiązanie):
1) z kawałka drutu o długości L zrobić model prostopadłościanu o największej objętości
2)który z trójkątów o obwodzie L ma największe pole powierzchni?
Z góry dzięki za pomoc. Pozdrawiam

[bedbet]

Niech \(\displaystyle{ V=abc \ , \ a,b,c\in (0;L) \ , \ 4a+4b+4c=L}\) bedzie objętością tego prostopadłościanu. Należy policzyć ekstremum funkcji trzech zmiennych przy podanym warunku. Ja zrobie inaczej

Z warunku \(\displaystyle{ 4a+4b+4c=L}\) wyznaczamy \(\displaystyle{ c=\frac{L}{4}-a-b}\). Mamy zatem zbadać ekstrema (dokładniej maksima, zgodnie z treścią zadania) funkcji dwóch zmiennych \(\displaystyle{ V(a,b)=ab(\frac{L}{4}-a-b)}\)

\(\displaystyle{ V^{'}_a=b(\frac{L}{4}-a-b)-ab}\)
\(\displaystyle{ V^{'}_b=a(\frac{L}{4}-a-b)-ab}\)

\(\displaystyle{ V^{'}_a=0 \iff b=0 \ \cup \ \frac{L}{4}-2a-b=0 \, \ V^{'}_b=0 \iff a=0 \ \cup \ \frac{L}{4}-a-2b=0}\)

Mamy więc punkty krytyczne: \(\displaystyle{ (\frac{L}{8};0), \ (0;\frac{L}{8}), \ (a;\frac{L}{4}-2a), \ (\frac{L}{4}-2b;b)}\)

Jak łatwo się przekonać w dwóch pierwszych przypadkach ekstrema nie występują. wstawiając za \(\displaystyle{ b}\) wartość \(\displaystyle{ \frac{L}{4}-2a}\) do równania naszej funcji, otrzymamy funkcje jednej zmiennej \(\displaystyle{ V(a)=a(\frac{L}{4}-2a)a}\). Podobnie otrzymamy funkcje \(\displaystyle{ V(b)=(\frac{L}{4}-2b)b^2}\) wstawiając do naszej funkcji za \(\displaystyle{ a}\) wartość \(\displaystyle{ \frac{L}{4}-2b}\) z ostatniego punktu krytycznego. Zajmijmy się funkcją \(\displaystyle{ V(a)=-2a^3+\frac{L}{4}a^2}\):

\(\displaystyle{ V^{'}=-6a^2+2\frac{L}{4}a , \ V^{'}=0\iff a=0 \ \cup \ a=\frac{L}{12}}\)
\(\displaystyle{ V^{''}=-12a+2\frac{L}{4}, \ V^{''}(0)=\frac{L}{2}>0 , \ V^{''}(\frac{L}{12})=-\frac{L}{2}}\)

[staszekzorawy]

Jakby była taka możliwość to prosiłbym również o rozwiązanie tego 2 zadania (ze wzorem Herona). Dzięki i pozdrawiam

[bedbet]

\(\displaystyle{ P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\). Mamy zatem:

\(\displaystyle{ P(a,b)=\sqrt{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)(\frac{L}{2}-b)(\frac{L}{2}-L+a+b)}}\)
\(\displaystyle{ P=\sqrt{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)(\frac{L}{2}-b)(a+b-\frac{L}{2})}}\)

\(\displaystyle{ P^{'}_a=\frac{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-b)[-(a+b-\frac{L}{2})+(\frac{L}{2}-a)]}{2\sqrt{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)(\frac{L}{2}-b)(a+b-\frac{L}{2})}}}\)

\(\displaystyle{ P^{'}_a=0\iff (\frac{L}{2}-b)(-2a-b+L)=0\iff b=\frac{L}{2} \ \cup \ b=L-2a}\)

\(\displaystyle{ P^{'}_b=\frac{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)[-(a+b-\frac{L}{2})+(\frac{L}{2}-b)]}{2\sqrt{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)(\frac{L}{2}-b)(a+b-\frac{L}{2})}}}\)

\(\displaystyle{ P^{'}_b=0\iff (\frac{L}{2}-a)(-a-2b+L)=0\iff a=\frac{L}{2} \ \cup \ a=L-2b}\)

Mamy więc punkty krytyczne: \(\displaystyle{ (\frac{L}{2};\frac{L}{4}), \ (\frac{L}{4};\frac{L}{2}), \ (a;L-2a), (L-2b;b)}\). Sprawdzenie, że w pierwszych dwóch punktach ekstremum nie wystąpi pozostawiam Tobie. Postępując analogicznie jak w poprzednim przykładzie, otrzymujemy funkcje jednej zmiennej \(\displaystyle{ P(a)=\sqrt{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)^2(2a-\frac{L}{2})}}\).

\(\displaystyle{ P^{'}=\frac{\frac{L}{2}[-2(\frac{L}{2}-a)+2(\frac{L}{2}-a)^2]}{2\sqrt{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)^2(2a-\frac{L}{2})}}}\)

\(\displaystyle{ P^{'}=0\iff 2(\frac{L}{2}-a)[(\frac{L}{2}-a)-(2a-\frac{L}{2})]=0\iff a=\frac{L}{2} \ \cup \ a=\frac{L}{3}}\)

W punkcie \(\displaystyle{ a=\frac{L}{3}}\)funkcja \(\displaystyle{ P(a)}\) ma maksimum (sprawdzenie pozostawiam Tobie), zatem mamy:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a=\frac{L}{3}\\b=L-2\frac{L}{3}=\frac{L}{3}\\c=L-2\frac{L}{3}=\frac{L}{3} \end{array}}\)

Więc jest to trójkąt równoboczny o długości boku równej oczywiście \(\displaystyle{ \frac{L}{3}}\).

[staszekzorawy]

Dzięki serdeczne! Pozdrawiam