Znajdź postać zwartą ciągu zadanego równaniem rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a_{0}=2 \\a _{1}=5 \\ a_{n}=5a_{n-1}-6a_{n-2} \end{array}}\) dla \(\displaystyle{ n qslant 2}\)
Bardzo proszę o pomoc bo kompletnie tego nie rozumiem.
Rekurencja
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4084
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Rekurencja
Równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ x^{2}=5x-6,x_{1}=3,x_{2}=2}\).
Stąd wzór ogólny ciągu będzie postaci \(\displaystyle{ a_{n}=A 3^{n}+B 2^{n}}\).
A i B wyznaczasz z układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=2 \\ 3A+2B=5 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A=1 \\ B=1 \end{cases}}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ a_{n}=2^{n}+3^{n}}\).
Tak samo robisz z każdym innym ciągiem; łatwo indukcją udowodnić twierdzenie:
Niech ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n N}}\) będzie okreslony rekurencyjnie: \(\displaystyle{ a_{i}=p_{i},i=1,2,...,k}\), \(\displaystyle{ a_{k+n}= \sum_{i=1}^{k}A_{i}a_{n+k-i}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,...}\) i niech \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n}}\) będą pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^{k}= \sum_{i=1}^{k}A_{i}x^{k-i}}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n N}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{n}= \sum_{i=1}^{k} _{i}x_{i}^{n}}\), gdzie liczby \(\displaystyle{ \alpha _{i}}\) są rozwiązaniami układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+...+\alpha _{k}x_{k}=p_{1} \\ _{1}x_{1}^{2}+\alpha _{2}x_{2}^{2}+...+\alpha _{k}x_{k}^{2}=p_{2} \\ ... \\ _{1}x_{1}^{k}+\alpha _{2}x_{2}^{k}+...+\alpha _{k}x_{k}^{k}=p_{k} \end{cases}}\)
Stąd wzór ogólny ciągu będzie postaci \(\displaystyle{ a_{n}=A 3^{n}+B 2^{n}}\).
A i B wyznaczasz z układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=2 \\ 3A+2B=5 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A=1 \\ B=1 \end{cases}}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ a_{n}=2^{n}+3^{n}}\).
Tak samo robisz z każdym innym ciągiem; łatwo indukcją udowodnić twierdzenie:
Niech ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n N}}\) będzie okreslony rekurencyjnie: \(\displaystyle{ a_{i}=p_{i},i=1,2,...,k}\), \(\displaystyle{ a_{k+n}= \sum_{i=1}^{k}A_{i}a_{n+k-i}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,...}\) i niech \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n}}\) będą pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^{k}= \sum_{i=1}^{k}A_{i}x^{k-i}}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n N}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{n}= \sum_{i=1}^{k} _{i}x_{i}^{n}}\), gdzie liczby \(\displaystyle{ \alpha _{i}}\) są rozwiązaniami układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+...+\alpha _{k}x_{k}=p_{1} \\ _{1}x_{1}^{2}+\alpha _{2}x_{2}^{2}+...+\alpha _{k}x_{k}^{2}=p_{2} \\ ... \\ _{1}x_{1}^{k}+\alpha _{2}x_{2}^{k}+...+\alpha _{k}x_{k}^{k}=p_{k} \end{cases}}\)
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4084
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Rekurencja
Dowód metodą indukcji względem n:
1.) Początek indukcji: z określenia liczb \(\displaystyle{ \alpha_{1}, _{2}, ..., _{k}}\) bezpośrednio wynika prawdziwość twierdzenia dla \(\displaystyle{ 1,2,...,k}\).
2.) Założenie indukcyjne: Dla każdego \(\displaystyle{ l qslant n}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{l}= \sum_{i=1}^{k} _{k}x_{k}^{l}}\)
3.) Teza indukcyjna: zachodzi \(\displaystyle{ a_{n+1}= \sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}x_{i}^{n+1}}\)
4.) Dowód:
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \sum_{i=1}^{k} A_{i}a_{n-i+1}= \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} A_{i} _{j} x_{j}^{n-i+1} = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{k} A_{i} _{j} x_{j}^{n-i+1} \\ = \sum_{j=1}^{k} (\alpha_{j}x_{j}^{n-k+1} \sum_{i=1}^{k}A_{i}x_{j}^{k-i})= \sum_{j=1}^{k}( _{j}x_{j}^{n-k+1} x_{j}^{k})= \sum_{i=1}^{k} _{i}x_{i}^{n+1}}\)
c.n.u.
Wszystko ładnie widać jak się rozpisze te sumy.
1.) Początek indukcji: z określenia liczb \(\displaystyle{ \alpha_{1}, _{2}, ..., _{k}}\) bezpośrednio wynika prawdziwość twierdzenia dla \(\displaystyle{ 1,2,...,k}\).
2.) Założenie indukcyjne: Dla każdego \(\displaystyle{ l qslant n}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{l}= \sum_{i=1}^{k} _{k}x_{k}^{l}}\)
3.) Teza indukcyjna: zachodzi \(\displaystyle{ a_{n+1}= \sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}x_{i}^{n+1}}\)
4.) Dowód:
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \sum_{i=1}^{k} A_{i}a_{n-i+1}= \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} A_{i} _{j} x_{j}^{n-i+1} = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{k} A_{i} _{j} x_{j}^{n-i+1} \\ = \sum_{j=1}^{k} (\alpha_{j}x_{j}^{n-k+1} \sum_{i=1}^{k}A_{i}x_{j}^{k-i})= \sum_{j=1}^{k}( _{j}x_{j}^{n-k+1} x_{j}^{k})= \sum_{i=1}^{k} _{i}x_{i}^{n+1}}\)
c.n.u.
Wszystko ładnie widać jak się rozpisze te sumy.