Całkowanie przez częsci

[staszekzorawy]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tej całki \(\displaystyle{ \int e^{ax}sinbxdx}\). Robiłem ją przez częsci i wiem,że tak ma iść tylko gubię się w przekształceniach Dzięki za pomoc.Pozdrawiam

[pajong88]

Musisz to zrobić dwa razy przez części. u=\(\displaystyle{ e^{ax}}\) dv=\(\displaystyle{ sinbxdx}\) dwa razy to przez części, ażeby wyszła znów ta całka później z jakąś stałą wyciągniętą przed całkę, następnie przenosisz za lewą stronę tą całkę dzielisz przez stałą i ci wychodzi.

[soku11]

\(\displaystyle{ \mathcal{I}=
t e^{ax}\sin (bx)\;\mbox{d}x = ft\{\begin{array}{c}
u=e^{ax}\;\;\mbox{d}v=\sin (bx)\mbox{d}x\\
\mbox{d}u=ae^{ax}\;\; v=-\frac{1}{b}\cos (bx)
\end{array}\right\}=
-\frac{e^{ax}\cos(bx)}{b}+\frac{a}{b} t e^{ax}\cos (bx)\mbox{d}x=
ft\{\begin{array}{c}
u=e^{ax}\;\;\mbox{d}v=\cos (bx)\mbox{d}x\\
\mbox{d}u=ae^{ax}\;\; v=\frac{1}{b}\sin (bx)
\end{array}\right\}=
-\frac{e^{ax}\cos(bx)}{b}+
\frac{a}{b} ft(\frac{e^{ax}\sin (bx)}{b}-\frac{a}{b}\int e^{ax}\sin(bx)\mbox{d}x\right)=
-\frac{e^{ax}\cos(bx)}{b}+
\frac{ae^{ax}\sin (bx)}{b^2}-\frac{a^2}{b^2}\mathcal{I}\\
\mathcal{I}+\frac{a^2}{b^2}\mathcal{I}=-\frac{e^{ax}\cos(bx)}{b}+
\frac{a\e^{ax}\sin (bx)}{b^2}\\
\mathcal{I}\cdot \frac{a^2+b^2}{b^2}=-\frac{e^{ax}\cos(bx)}{b}+
\frac{a\e^{ax}\sin (bx)}{b^2}\\
\mathcal{I}=-\frac{be^{ax}\cos(bx)}{a^2+b^2}
+\frac{ae^{ax}\sin(bx)}{a^2+b^2}=
\frac{e^{ax}[a\sin(bx)-b\cos(bx)]}{a^2+b^2}}\)

Chyba nigdzie bledu nie zrobilem Pozdrawiam.