Witam! Mam problem z rozwiązaniem tego zadania. Będę wdzięczny za jakieś wskazówki.
Znajdź największą liczbę x, dla której zachodzi równość \(\displaystyle{ (\frac{3}{4})^{x-y}- (\frac{3}{4})^{y-x}= \frac{7}{12}}\) i nierówność \(\displaystyle{ xy+y qslant 9}\)
Równanie wykładnicze
-
pajong88
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 18 wrz 2008, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 5 razy
Równanie wykładnicze
\(\displaystyle{ (4/3)^{y-x}-(3/4)^{y-x}=7/12}\)
\(\displaystyle{ (16^{y-x}-9^{y-x})/12^{y-x}=7/12}\)
y-x=1 czyli y=x+1
\(\displaystyle{ x^2+x+x+1}\)
\(\displaystyle{ (16^{y-x}-9^{y-x})/12^{y-x}=7/12}\)
y-x=1 czyli y=x+1
\(\displaystyle{ x^2+x+x+1}\)
-
Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Równanie wykładnicze
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}-\left(\frac{3}{4}\right)^{y-x}=\frac{7}{12}}\)
zał.: \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb R}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}-\left(\frac{3}{4}\right)^{-(x-y)}=\frac{7}{12}}\)
Niech \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}=t, t>0}\).
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ t-t^{-1}=\frac{7}{12} \iff t-\frac{1}{t}-\frac{7}{12}=0 \iff 12t^{2}-7t-12=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff 12\left(t-\frac{4}{3}\right) \left(t+\frac{3}{4}\right)=0 \iff t=-\frac{3}{4} \vee t=1\frac{1}{3}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ t>0}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ t=1\frac{1}{3}}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}=\frac{4}{3} \iff ft(\frac{3}{4}\right)^{x-y}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}}\)
Z różnowartościowości funkcji wykładniczej mamy:
\(\displaystyle{ x-y=-1}\).
\(\displaystyle{ x-y=-1 x=-1+y}\)
Ponadto \(\displaystyle{ x}\) musi być taką liczbą, dla której zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ xy+y\leq 9}\).
\(\displaystyle{ xy+y\leq 9 \iff (-1+y)\cdot y+y\leq 9 \iff -y+y^{2}+y\leq 9 \iff y^{2}\leq 9 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff y^{2}-9\leq 0 \iff (y-3)(y+3)\leq 0 \iff y\in }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1+y \\ y\in \end{cases}}\)
Dla \(\displaystyle{ x=-1+y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}-\left(\frac{3}{4}\right)^{y-x}=\frac{7}{12}}\), zaś dla \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1+y \\ y\in \end{cases}}\) spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ xy+y\leq 9}\). Szukamy największej liczby \(\displaystyle{ x}\), dla której zachodzi równość i nierówność, zatem:
\(\displaystyle{ x=-1+3=2}\).
Odp.: \(\displaystyle{ x=2}\)
zał.: \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb R}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}-\left(\frac{3}{4}\right)^{-(x-y)}=\frac{7}{12}}\)
Niech \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}=t, t>0}\).
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ t-t^{-1}=\frac{7}{12} \iff t-\frac{1}{t}-\frac{7}{12}=0 \iff 12t^{2}-7t-12=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff 12\left(t-\frac{4}{3}\right) \left(t+\frac{3}{4}\right)=0 \iff t=-\frac{3}{4} \vee t=1\frac{1}{3}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ t>0}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ t=1\frac{1}{3}}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}=\frac{4}{3} \iff ft(\frac{3}{4}\right)^{x-y}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}}\)
Z różnowartościowości funkcji wykładniczej mamy:
\(\displaystyle{ x-y=-1}\).
\(\displaystyle{ x-y=-1 x=-1+y}\)
Ponadto \(\displaystyle{ x}\) musi być taką liczbą, dla której zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ xy+y\leq 9}\).
\(\displaystyle{ xy+y\leq 9 \iff (-1+y)\cdot y+y\leq 9 \iff -y+y^{2}+y\leq 9 \iff y^{2}\leq 9 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff y^{2}-9\leq 0 \iff (y-3)(y+3)\leq 0 \iff y\in }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1+y \\ y\in \end{cases}}\)
Dla \(\displaystyle{ x=-1+y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}-\left(\frac{3}{4}\right)^{y-x}=\frac{7}{12}}\), zaś dla \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1+y \\ y\in \end{cases}}\) spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ xy+y\leq 9}\). Szukamy największej liczby \(\displaystyle{ x}\), dla której zachodzi równość i nierówność, zatem:
\(\displaystyle{ x=-1+3=2}\).
Odp.: \(\displaystyle{ x=2}\)