Pochodne cząstkowe

[qku]

Obliczyć pochodne cząstkowe po x,y,z:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=zarcsin( \frac{x}{x+y})}\)
Nie wiem jak sie za to zabrać, więc może ktoś wytłumaczy mi jak to rozwiązać

[soku11]

Tutaj nie ma co w sumie tlumaczyc... Liczac pochodne czastkowe po danej zmiennej reszte zmiennych traktujesz jako jakies stale. Tyle...
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=
z\left(\arcsin \frac{x}{x+y} \right)'_{x}=
z\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{x+y})^2}}\cdot\left( \frac{x}{x+y} \right)'_{x}=
\frac{z}{\sqrt{1-(\frac{x}{x+y})^2}}\cdot \frac{x+y-x}{(x+y)^2}=
\frac{zy}{(x+y)^2\sqrt{1-(\frac{x}{x+y})^2}}=\ldots\\
\\
\frac{\partial f}{\partial y}=
z\left(\arcsin \frac{x}{x+y} \right)'_{y}=
z\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{x+y})^2}}\cdot\left( \frac{x}{x+y} \right)'_{y}=
\frac{z}{\sqrt{1-(\frac{x}{x+y})^2}}\cdot \frac{-x}{(x+y)^2}=
\frac{-zx}{(x+y)^2\sqrt{1-(\frac{x}{x+y})^2}}=\ldots\\
\\
\frac{\partial f}{\partial z}=
\arcsin \frac{x}{x+y} (z)'_{z}=\arcsin \frac{x}{x+y}}\)

Pozdrawiam.

[szd]

liczysz pochodne względem zmiennych po kolei x, y, z i kolejno przedstawia się to w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} (x,y) = z \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{x ^{2} }{(x+y) ^{2} } } } \frac{y}{(x+y) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} (x,y) = z \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{x ^{2} }{(x+y) ^{2} } } } \frac{-x}{(x+y) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{df}{dz} (x,y) = arcsin( \frac{x}{x+y})}\)

To są właśnie pochodne cząstkowe I rzędu, mam nadzieję że się nie pomyliłem i że z uproszczeniem tych ułamków nie będziesz miał problemów. Pozdrawiam.