ekstrema:
\(\displaystyle{ f(x,y) = 3lnx + x^{2}y ^{2} - y ^{2} - 5x - 8}\)
Dziękuje i pozdrawiam.
obliczyć ekstrema funkcji dwóch zmiennych
-
miki999
- Użytkownik
- Posty: 8358
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
obliczyć ekstrema funkcji dwóch zmiennych
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3}{x} +2xy^{2}-5}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y} =2yx^{2}-2y}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3}{x} +2xy^{2}-5=0\\2yx^{2}-2y=0\end{cases}}\)
2. wiersz dzielimy przez 2 i przed nawias wyprowadzamy 'y':
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3}{x} +2xy^{2}-5=0\\y(x^{2}-1)=0\end{cases}}\)
Z drugiego równania widzimy, że mamy równość spełnioną\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\), gdy \(\displaystyle{ x=1,\ x=-1\ lub\ y=0}\) z czego: \(\displaystyle{ x=-1 \notin D}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} = \frac{3}{5} \wedge y _{1} =0 \\x _{2}=1 \wedge y _2{} =1\\x _{3}=1 \wedge y _{3}=-1 \end{cases}}\)
Mamy 3 podejrzane pkt., teraz sprawdzimy czy znajdują się w nich ekstrema:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= -\frac{3}{x^{2}} +2y^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= 2x^{2}-2}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}}= 4xy}\)
Wyznacznik hesjanu w podejrzanych pkt.:
1)
\(\displaystyle{ det \left|\begin{array}{cc}- \frac{25}{3} &0\\0&- \frac{32}{25} \end{array}\right|>0}\)
Ekstremum istnieje, \(\displaystyle{ - \frac{25}{3}}\) zatem jest to maksimum.
2)
\(\displaystyle{ det \left|\begin{array}{cc}-1&4\\4&0 \end{array}\right|}\)- brak ekstremum
3)
\(\displaystyle{ det \left|\begin{array}{cc}-1&-4\\-4&0 \end{array}\right|}\)- brak ekstremum
Czyli jedyne ekstremum lokalne znajduje się w pkt. \(\displaystyle{ ( \frac{3}{5} ; 0)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y} =2yx^{2}-2y}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3}{x} +2xy^{2}-5=0\\2yx^{2}-2y=0\end{cases}}\)
2. wiersz dzielimy przez 2 i przed nawias wyprowadzamy 'y':
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3}{x} +2xy^{2}-5=0\\y(x^{2}-1)=0\end{cases}}\)
Z drugiego równania widzimy, że mamy równość spełnioną\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\), gdy \(\displaystyle{ x=1,\ x=-1\ lub\ y=0}\) z czego: \(\displaystyle{ x=-1 \notin D}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} = \frac{3}{5} \wedge y _{1} =0 \\x _{2}=1 \wedge y _2{} =1\\x _{3}=1 \wedge y _{3}=-1 \end{cases}}\)
Mamy 3 podejrzane pkt., teraz sprawdzimy czy znajdują się w nich ekstrema:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= -\frac{3}{x^{2}} +2y^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= 2x^{2}-2}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}}= 4xy}\)
Wyznacznik hesjanu w podejrzanych pkt.:
1)
\(\displaystyle{ det \left|\begin{array}{cc}- \frac{25}{3} &0\\0&- \frac{32}{25} \end{array}\right|>0}\)
Ekstremum istnieje, \(\displaystyle{ - \frac{25}{3}}\) zatem jest to maksimum.
2)
\(\displaystyle{ det \left|\begin{array}{cc}-1&4\\4&0 \end{array}\right|}\)- brak ekstremum
3)
\(\displaystyle{ det \left|\begin{array}{cc}-1&-4\\-4&0 \end{array}\right|}\)- brak ekstremum
Czyli jedyne ekstremum lokalne znajduje się w pkt. \(\displaystyle{ ( \frac{3}{5} ; 0)}\)