graniastosłup prawidłowy trójkątny

[ducia]

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej równa się sumie pól podstaw. Oblicz tg kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

[Wicio]

Masz odpowiedź do tego zadania?

Bo mi wyszło:
\(\displaystyle{ tg a= \frac{2 \sqrt{30} }{7}}\)

[mmoonniiaa]

A mi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\).

[Wicio]

Heh a w jaki sposób liczyłaś?

Ja z tw. cosinusów obliczyłem cos a , potem z jedynki trygonometrycznej sinusa , a tg to sinus przez cosinus i wsio

[ducia]

miało wyjść 32

[Wicio]

Heh to coś źle policzyłem ;p Więc Monia zamieszczaj Ty swoje rozwiązanie

[mmoonniiaa]

H - wysokość graniastosłupa
a - krawędź podstawy
h - wysokość trójkąta w podstawie
Kąt \(\displaystyle{ \beta}\), o którym mowa w zadaniu zaznaczony jest na rysunku na czerwono (to nie ten kąt zaznaczony jako\(\displaystyle{ \alpha}\)):


Pomiędzy lewym ramieniem (ozn. \(\displaystyle{ x}\)) kąta \(\displaystyle{ \beta}\) a wysokością podstawy jest kąt prosty.

Z treści zdania wiemy, że:
\(\displaystyle{ 3aH=2 \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} H= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)

Z tw. Pitagorasa obliczmy długość lewego ramienia kąta \(\displaystyle{ \beta}\):
\(\displaystyle{ x^2= \frac{3a^2}{36}+ \frac{a^2}{4} x= \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)

Wysokość trójkąta w podstawie:
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ tg\beta= \frac{h}{x} = \frac{ \frac{a \sqrt{3} }{3}}{\frac{a \sqrt{3} }{3}} = \frac{3}{2}}\)