Całka ogólna

[mmigi]

Znaleźć całkę ogólną równania
\(\displaystyle{ xy'-y= x^{2} e ^{-2x}}\)

[Vigl]

RJ: \(\displaystyle{ xy'-y=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}}\)
\(\displaystyle{ ln|y|=ln|x|+C=ln|x|+ln(C*)=ln(|x|C*)}\)
CORJ: \(\displaystyle{ y=Dx}\)
Wariacja stałej: \(\displaystyle{ y=D(x)x==>y'=D'(x)x+D(x)}\)
podstawiamy do równania wyjściowego: \(\displaystyle{ D'x^2+Dx-Dx=x^2e^{-2x}==>D'(x)=e^{-2x}}\)
\(\displaystyle{ D(x)=\int D'(x)dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}}\)
CSRN: \(\displaystyle{ y_{s}=-\frac{1}{2}xe^{-2x}}\)
CORN: \(\displaystyle{ y_{o}=Dx-\frac{1}{2}xe^{-2x}}\)

[Pimpek]

\(\displaystyle{ xy'-y= x^{2} e ^{-2x} \frac{ \mbox{d}y }{ }- \frac{y}{x}=xe^{-2x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ }= \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ 1}{x} \mbox{d}y = \frac{ 1 }{x} }\)
\(\displaystyle{ y=cx , u(x)=c}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ }= \frac{ \mbox{d}u }{ }x+u}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u }{ }x+u-u=xe^{-2x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u }{ }=e^{-2x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \mbox{d}u= e^{-2x} }\)
\(\displaystyle{ u=- \frac{1}{2}e^{-2x}+C}\)
\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2}xe^{-2x}+C}\)