całka nieoznaczona

[Mithrandir]

\(\displaystyle{ \int \sqrt{(-x^{2}+16)}}\)

[meninio]

\(\displaystyle{ \mathca;{I}=\int \sqrt{16-x^{2}}}\)

podstawienie: \(\displaystyle{ x=4\sin t dx=4 \cos t dt}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\int \sqrt{16-16\sin^2 t} \cos tdt = t 4 \sqrt{1-sin^2t} \cos t dt= 4 t \cos^2t dt= 4\int \frac{1+\cos 2t}{2}=4 ft(\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t \right)=2t+\sin2t=2t+2\sin t \cos t=2t+2\sin t \sqrt{1-\sin^2t}=2\arcsin ft( \frac{x}{4} \right)+\frac{x}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{16}} =2\arcsin ft( \frac{x}{4} \right)+\frac{x}{8}\sqrt{16-x^2}+C}\)

[Mithrandir]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{16-x^{2}}}\) jest równaniem (pół)okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r=4. Czy w takim razie ten zapis jest poprawny:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{4} \sqrt{16-x^{2}} dx = \frac{1}{4} \pi r^{2}}\)

\(\displaystyle{ \left[ 2\arcsin ft( \frac{x}{4} \right)+\frac{x}{8}\sqrt{16-x^2} \right] _{0} ^{4} = \frac{1}{4} \pi r^{2}}\) ?

Wyszło mi \(\displaystyle{ \pi=4\pi}\), gdzie może być błąd?

[Lider_M]

Bo po podstawieniu powinniśmy otrzymac:

\(\displaystyle{ \int 4\sqrt{16-16\sin^2t}\cos tdt}\), a nie \(\displaystyle{ \int 4\sqrt{1-\sin^2t}\cos tdt}\) I wtedy będzie wszystko O.K.