Wykaż, że... - równanie z pierwiastkami

[antalek]

Witam, nie wiem jak się zabrać do tego zadanka;p Wydaje mi się, że to banał, ale nie mam pomysłu jak się za to zabrać;p

Wykaż, że
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7 } - \sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7 } =2}\)

No i jeszcze takie jedno:

Czy istnieje potęga liczby 2000, która jest liczbą złożoną ze 100 cyfr?
Próbowałam zamienić to jakoś na potęgi dziesiątki, ale nie wiem jak skończyć:) Mam nadzieję, że ktoś naprowadzi mnie na sposób myślenia, niekoniecznie poda rozwiązanie;)
Z góry dzięki;p

[meninio]

Aby pozbyć się pierwiastków trzeciego stopnia, warto by liczbę podpierwiastkową przedstawić w postaci wyrażenia w trzeciej potędze.
Więc załóżmy, że wyrażenie:\(\displaystyle{ 5\sqrt{2}+7}\) można przedstawić następująco dla pewnych \(\displaystyle{ a,b Z}\):

\(\displaystyle{ 5\sqrt{2}+7 \equiv (a\sqrt{2}+b)^3=2a^3\sqrt{2}+6a^2b+3ab^2\sqrt{2}+b^3=6a^2b+b^3+(2a^3+3ab^2)\sqrt{2}}\)

Po przyrównaniu dostaje,y następujący układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}6a^2b+b^3=7 \\ 2a^3+3ab^2=5 \end{cases}}\)

"Widać" że jedyną całkowitą parę spełniającą ten układ jes para: \(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=1 \end{cases}}\)

Czyli: \(\displaystyle{ 5\sqrt{2}+7 =(\sqrt{2}+1)^3}\)

Stosując podobna metodą dostajemy: \(\displaystyle{ \sqrt{5}-7=(\sqrt{2}-1)^3}\)

Wstawiamy do równania wyjściowego uzyskane wyniki i dostajemy:
\(\displaystyle{ L= \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} =\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1}=2=P}\)

[Qń]

Zadanie 1.
Można też tak - oznaczmy:
\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7 } , \ b= \sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7 }, \ a-b =x}\)
Widać, że \(\displaystyle{ a^3-b^3=14}\) oraz \(\displaystyle{ ab=1}\). Tak więc:

\(\displaystyle{ 14=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)= (a-b)((a-b)^2+3ab) = x(x^2+3)}\)

co oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) jest rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ x^3+3x-14=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+2x +7)=0}\)
skąd \(\displaystyle{ x=2}\)

Zadanie 2.
Rozumiem, że chodzi o całkowitą potęgę (bo rzeczywista istnieje w oczywisty sposób i to niejedna, bo całe continuum).

Z uwagi na \(\displaystyle{ 2^{10}>10^3}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2000^{30}=(2^{10})^3\cdot 10^{90} >10^9 10^{90} = 10^{99}}\)

Z uwagi na \(\displaystyle{ 2^3 < 10}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2000^{30} = (2^3)^{10} \cdot 10^{90} < 10^{10}\cdot 10^{90} = 10^{100}}\)

Te dwie nierówności oznaczają, że \(\displaystyle{ 2000^{30}}\) ma dokładnie 100 cyfr.

Q.

[antalek]

Z uwagi na \(\displaystyle{ 2^{10}>10^3}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2000^{30}=(2^{10})^3\cdot 10^{90} >10^9 10^{90} = 10^{99}}\)

Z uwagi na \(\displaystyle{ 2^3 < 10}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2000^{30} = (2^3)^{10} \cdot 10^{90} < 10^{10}\cdot 10^{90} = 10^{100}}\)

Te dwie nierówności oznaczają, że \(\displaystyle{ 2000^{30}}\) ma dokładnie 100 cyfr.

Q.

A mógłbyś jeszcze wyjaśnić skąd wziąłeś akurat takie nierówności? Bo nie bardzo wiem, skąd mam od razu wiedzieć, że trzeba tą liczbę podnieść akurat do 30:P Same przejścia są zupełnie jasne:)

[Qń]

nie bardzo wiem, skąd mam od razu wiedzieć, że trzeba tą liczbę podnieść akurat do 30:P

Tutaj niestety trzeba intuicji/pomysłu/błysku/innego ustrojstwa, ewentualnie metody prób i błędów, a już najlepiej kompilacji pierwszego i drugiego ;>.

Q.