[Planimetria] Trójkąt i okrąg opisany

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
kimilo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Pomógł: 2 razy

[Planimetria] Trójkąt i okrąg opisany

Post autor: kimilo » 15 mar 2007, o 21:00

Punkt D jest takim punktem boku AB trójkąta ABC ze \(\displaystyle{ 3 |AD| = |BD|}\). Punkt E jest takim punktem łuku AC okręgu opisanego na trójkącie ABC, nie zawierającym punktu B, ze \(\displaystyle{ \angle ADE = \angle ACB}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ 2 |DE|=|EB|}\).
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2008, o 20:00 przez kimilo, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[Planimetria] Trójkąt i okrąg opisany

Post autor: limes123 » 16 wrz 2008, o 20:52

Wystarczy przez A poprowadzic styczna do naszego okregu. Latwo zauwazyc, ze jest ona rownlolegla do DE i tu ze zwyklego podobienstwa otrzymamy, ze rownosc w zadaniu jest rownowazna temu, ze
XA=2XE, gdzie X jest punktem przeciecia BE z naszą prostą, a ta równość wynika z tego, ze
\(\displaystyle{ XA^2=XE\cdot XB\iff XA^2=4XE^2\iff XA=2XE}\) cdk

ODPOWIEDZ