Zbieżność jednostajna ciągu funkcji

[Ichiban]

Pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ f_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}}\) jest zbieżny jednostajnie, gdzie \(\displaystyle{ f_n: R \to R}\)

[Rafal88K]

Coś takiego wykminiłem ale czy to jest dobrze to nie wiem Więc lepiej niech ktoś jeszcze to zobaczy.

\(\displaystyle{ f(x) = \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = \lim_{n\to\infty} \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}} = \sqrt{x^2} = |x|}\)

\(\displaystyle{ |f_{n}(x) - f(x)| < \varepsilon}\)
\(\displaystyle{ |\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} - |x|| < \varepsilon}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} < \varepsilon + |x| \ // ()^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{n} < \varepsilon^{2} + 2\varepsilon|x| + x^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} < \varepsilon^{2} + 2\varepsilon|x|}\)
\(\displaystyle{ n > \frac{1}{\varepsilon^{2} + 2\varepsilon|x|}}\)

\(\displaystyle{ n_{0} = [\frac{1}{\varepsilon^{2} + 2\varepsilon|x|}] + 1}\)

[Ichiban]

Jaka jest ogólna zasada wyznaczania zbieżności jednostajnej? Czy w tym celu trzeba "wymyslać" funkcję f()?

[Lider_M]

Nie, funkcje \(\displaystyle{ f(x)}\) trzeba wyznaczyć, bo \(\displaystyle{ f(x)=\lim_nf_n(x)}\), tak jak zrobiłRafal88K.

[Ichiban]

I ogólnie chodzi o to, że jak już wyznaczę tą funkcję to liczę \(\displaystyle{ \left| f_n - f \right| < \varepsilon}\)??
A co to \(\displaystyle{ n_0}\)??

[Rafal88K]

\(\displaystyle{ n > \frac{1}{\varepsilon^{2} + 2\varepsilon|x|}}\) zależy od x - czyli nie jest jednostajnie zbieżny

[Ichiban]

Ale ten ciąg jest zbieżny