całka nieoznaczona - metoda podstawiania

[mpk]

mam taką całkę \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}}\) i wiem że mam podstawić za\(\displaystyle{ x=\frac{1}{t}}\) ale nic mi nie wychodzi

[spajder]

z tego masz

\(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ dt=\frac{dx}{x}}\)

\(\displaystyle{ 1+x^2 = 1+\left(\frac{1}{t}\right)^2 = 1+\frac{1}{t^2} = \frac{t^2+1}{t^2}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \dots = t{\frac{dt}{\sqrt{\frac{t^2+1}{t^2}}}} = t{\frac{tdt}{\sqrt{t^2+1}}}}\)

i tu wstaw \(\displaystyle{ z=t^2+1}\)

całka może inaczej wyglądać, gdy \(\displaystyle{ x}\)

[Szemek]

\(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ dt=\frac{dx}{x}}\)

od kiedy pochodna \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) ?