Może ktoś sobie poradzi z tymi układami:
1: x*y=x^2*y^2
3(x^2*y+x*y^2)=5(x-y)
2: x^2+3xy=54
xy+4y^2=115
3: x^3-y^3=19(x-y)
x^3+y^3=7(x+y)
4: x(x+y)=3
x(x+z)=1
x(y+z)=2
(3 zadania) Rozwiąż układy równań
-
Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
(3 zadania) Rozwiąż układy równań
Na przyszłość pisz w jakim zbiorze te układy...
OK - zacznijmy od końca:
Zad. 4
x0 - bez komentarza...
(1) x(x+y)=3
(2) x(x+z)=1
(3) x(y+z)=2
Z (1), (2): 3(x+z)=x+y, a stąd 2x+3z=y
Z (2), (3): 2(x+z)=y+z, a stąd 2x+z=y
Po odjęciu stronami: 2z=0, a stąd z=0
Po wstawieniu tego wyniku do 2: x^2=1, czyli x=1 "v" x=-1
W pierwsym przypadku: (x,y,z)=(1,2,0)
W drugim: (x,y,z)=(-1,-2,0)
I to wszystko...
A teraz początek , Zad 1
Z xy=x^2*y^2, mamy:
0=xy(xy-1), czyli
(1) xy=0 "v" (2) xy=1
(1) W drugim równaniu podstawiamy xy=0, stąd x-y=0, stąd x=y. Skoro xy=0, to co najmniej jedna z x, y jest 0, ale skoro są równe, to (x,y)=(0,0)
(2) 3(x+y)=5(x-y), czyli 8y=2x a z warunku pierwszego, x0, y0. Zatem niech x=1/y. Postawmy: 4y=1/y, a stąd 4y^2=1, a stąd y^2=1/4.
Mamy więc
(2.1) y=1/2 lub
(2.2) y=-1/2
(2.1) (x,y)=(2,1/2)
(2.2) (x,y)=(-2,-1/2)
Zatem 3 rozwiązania, to:
(x,y)=(0,0) "v" (x,y)=(2,1/2) "v" (x,y)=(-2,-1/2)
Zad 2
Proponuję najpierw wyznaczyć:
(1) x^2+3xy=54 skąd x(x+3y)=54
(2) xy+4y^2=115 skąd y(x+4y)=115
Stąd x0, y0
Stąd otrzymujemy równość:
54/x+y=115/y, a po mnożenu przez xy, mamy: y(54+x)=115x
Skoro x0, y0, to 54+x0, a stąd y=115x/54+x
Po podstawieniu: x^2(1+345/54+x)=54
Czyli otrzymujemy jakieś równanie 3 stopnia do rozwiązania.
Może ktoś zechce mi pomóc je rozwiązać...
Ale... metodę widać.
Ciekawe, że Reksio podpowiada drugi pomysł, że po dodaniu (1), (2) stronami, mamy: (x+2y)^2=169. To jest dobry pomysł...
Stąd bowiem (a) x+2y=13 "v" (b) x+2y=-13,
(a) (13-2y)(13+y)=54, czyli 169-13y+2y^2=0, czyli:
delta to 169 - 4(169*2), czyli delta
OK - zacznijmy od końca:
Zad. 4
x0 - bez komentarza...
(1) x(x+y)=3
(2) x(x+z)=1
(3) x(y+z)=2
Z (1), (2): 3(x+z)=x+y, a stąd 2x+3z=y
Z (2), (3): 2(x+z)=y+z, a stąd 2x+z=y
Po odjęciu stronami: 2z=0, a stąd z=0
Po wstawieniu tego wyniku do 2: x^2=1, czyli x=1 "v" x=-1
W pierwsym przypadku: (x,y,z)=(1,2,0)
W drugim: (x,y,z)=(-1,-2,0)
I to wszystko...
A teraz początek , Zad 1
Z xy=x^2*y^2, mamy:
0=xy(xy-1), czyli
(1) xy=0 "v" (2) xy=1
(1) W drugim równaniu podstawiamy xy=0, stąd x-y=0, stąd x=y. Skoro xy=0, to co najmniej jedna z x, y jest 0, ale skoro są równe, to (x,y)=(0,0)
(2) 3(x+y)=5(x-y), czyli 8y=2x a z warunku pierwszego, x0, y0. Zatem niech x=1/y. Postawmy: 4y=1/y, a stąd 4y^2=1, a stąd y^2=1/4.
Mamy więc
(2.1) y=1/2 lub
(2.2) y=-1/2
(2.1) (x,y)=(2,1/2)
(2.2) (x,y)=(-2,-1/2)
Zatem 3 rozwiązania, to:
(x,y)=(0,0) "v" (x,y)=(2,1/2) "v" (x,y)=(-2,-1/2)
Zad 2
Proponuję najpierw wyznaczyć:
(1) x^2+3xy=54 skąd x(x+3y)=54
(2) xy+4y^2=115 skąd y(x+4y)=115
Stąd x0, y0
Stąd otrzymujemy równość:
54/x+y=115/y, a po mnożenu przez xy, mamy: y(54+x)=115x
Skoro x0, y0, to 54+x0, a stąd y=115x/54+x
Po podstawieniu: x^2(1+345/54+x)=54
Czyli otrzymujemy jakieś równanie 3 stopnia do rozwiązania.
Może ktoś zechce mi pomóc je rozwiązać...
Ale... metodę widać.
Ciekawe, że Reksio podpowiada drugi pomysł, że po dodaniu (1), (2) stronami, mamy: (x+2y)^2=169. To jest dobry pomysł...
Stąd bowiem (a) x+2y=13 "v" (b) x+2y=-13,
(a) (13-2y)(13+y)=54, czyli 169-13y+2y^2=0, czyli:
delta to 169 - 4(169*2), czyli delta
(3 zadania) Rozwiąż układy równań
och, jakiś ty mądry, na pewno poradzisz sobie na olimpiadzie
nie pisało w jakim zbiorze te układy
dzięki
nie pisało w jakim zbiorze te układy
dzięki