(4 zadania) Sprawdź tożsamości trygonometryczne

[mucha]

Mam sprawdzić tożsamości:
1. sin7x*tg3,5x=tg2x
2. cos2x*cosx-sin4x*sinx=cos3x*cos2x
3. (cosx-cos3x)/(sin3x-sinx)=tg2x
4. (sin^6)x+(cos^6)x=1-3/4*(sin^2)2x

[Arek]

Z tego, co jeszcze po meczu z Realem udało mi się zrobić, wyszły przykłady (2), (3), (4)

Ogólnie korzystać będziemy ze znanych wzorów na:

(Sin^2)x+(Cos^2)x=1
Sin(2x)=2SinxCosx
Cos(2x)=(Cos^2)x-(Sin^2)x
Cos(3x)=4(Cos^3)x-3Cosx
Sin(3x)=-4(Sin^3)x+3Sinx

Nie sądzę, byś ich nie znał/a, ale jeśli których jest wątpliwy - wyjaśnimy...

(2) Cos2x*Cosx-Sin4x*Sinx=Cos3x*Cos2x

Mamy:

Cos2x*Cosx-Sin4x*Sinx=
=Cos2x*Cosx-2Sin2x*Cos2x*Sinx=
=Cos2x*(Cosx-4(Sin^2)x*Cosx)=
=Cos2x*(Cosx-4(1-(Cos^2)x)Cosx)=
=Cos2x*(Cosx-4Cosx+4(Cos^3)x)=
=Cos2x*(4(Cos^3)x-3Cosx)=
=Cos2x*Cos3x

c.b.d.o

(3)

(Cosx-Cos3x)/(Sin3x-Sinx)=Tan2x


Cos(3x)=4(Cos^3)x-3Cosx= jak pokazaliśmy w (2) = Cosx-4(Sin^2)x*Cosx
Sin(3x)=-4(Sin^3)x+3Sinx
a zatem podstawiając:

(4(Sin^2)x*Cosx)/(-4(Sin^3)x+2Sinx)=
=(2Sinx*Cosx)/(1-2(Sin^2)x)=
=(Sin2x)((Cos^2)x-(Sin^2)x)=
=(Sin2x)/(Cos2x)=
=Tan2x

c.b.d.o

(4)

Ze wzoru na (a+b)^3, mamy:

((Sin^2)x+(Cos^2)x)^3=
=((Sin^6)x+(Cos^6)x+3(Sin^4)x*(Cos^2)x+3(Cos^4)x*(Sin^2)x=
=((Sin^6)x+(Cos^6)x+3(Sin^2)x*(Cos^2)x*((Sin^2)x+(Cos^2)x)

A zatem na mocy jedynki trygonometrycznej:

1=(Sin^6)x+(Cos^6)x+3(Sin^2)x*(Cos^2)x

Podstawmy to do Twjej tożsamości:

1-3(Sin^2)x*(Cos^2)x=
=1-3((Sin2x)/2*(Sin2x/2)=
=1-3/4*(Cos^2)2x

c.b.d.o

Mam nadzieję, że wymyślę (1), ale jak nie to na pewno inni moderatorzy pospieszą z pomocą...

Pozdrawiam