granice ciągu

[pawel.l89]

Mógłby mi to ktoś wyliczyć?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } ft(1+ \frac{1}{n+2} \right) ^{3n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } ft( \frac{3n+1}{3n+4} \right) n}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } ft( 1+ \frac{1}{2 ^{n} } \right) ^{2n+1}}\)

[Lider_M]

We wszystkich skorzystaj z tego, że jeżeli \(\displaystyle{ a_n\to }\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e}\)

[pawel.l89]

No więc jak tak robie to mi wychodzi np w drugim przykładzie \(\displaystyle{ e ^{-1}}\) czy to jest dobry wynik?

[ Dodano: 8 Września 2008, 21:18 ]
a co jest złego w tym rozwiązaniu?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } ft( \frac{3n+1}{3n+4} \right) ^{n} =
\lim_{ n\to } ft( \frac{3n(1+ \frac{1}{3n}) }{3n(1+ \frac{4}{3n}) } \right) ^{n}= \lim_{ n\to } ft( \frac{1+ \frac{1}{3n} }{1+ \frac{4}{3n} } \right) ^{n}=
[ 1 ^{ } ] = 1}\)

[Tobol]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to } ft( \frac{1+ \frac{1}{3n} }{1+ \frac{4}{3n} } \right)^n = \lim_{x \to } \frac{ ft(1+ \frac{1}{3n} \right)^{n} }{ ft(1+ \frac{4}{3n} \right)^{n} } =
\lim_{x \to } \frac{ ft[ ft(1+ \frac{1}{3n} \right)^{3n} \right]^{ \frac{1}{3}} }{ ft[ ft(1+ \frac{4}{3n} \right)^{ \frac{3n}{4} } \right]^{ \frac{4}{3} } } = \lim_{x \to } \frac{e^{ \frac{1}{3} }}{e^{ \frac{4}{3} }} = e^{ \frac{1}{3} - \frac{4}{3} } = e^{-1} = \frac{1}{e}}\)