Zbadać różniczkowalność funkcji f(x,y) w punkcie (0,0)
\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} x+y+\frac{x^3y}{x^4+y^2} \ \ \ dla \ (x,y) (0,0) \\ 0 \ \ \ dla \ (x,y)=(0,0)\end{cases}}\)
Zbadać różniczkowalność
-
dr_grucha
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 27 maja 2005, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Frysztak
- Pomógł: 28 razy
Zbadać różniczkowalność
Funkcja będzie różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (x,y)}\) jeśli:
\(\displaystyle{ \lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)-f'_{x}(x,y)\Delta x - f'_{y}(x,y)\Delta y}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }=0}\)
Więc tutaj musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(x,y)-f'_{x}(0,0)\Delta x - f'_{y}(0,0)\Delta y}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }=0}\)
\(\displaystyle{ f'_{x}(0,0)= \lim_{ \Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} =\lim_{ \Delta x \to 0} \frac{\Delta x-0}{\Delta x} =\lim_{ \Delta x \to 0} 1=1}\)
\(\displaystyle{ f'_{x}(0,0)= \lim_{ \Delta y \to 0} \frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} =\lim_{ \Delta y \to 0} \frac{\Delta y-0}{\Delta y} =\lim_{ \Delta y \to 0} 1=1}\)
więc:
\(\displaystyle{ \lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f'_{x}(0,0)\Delta x - f'_{y}(0,0)\Delta y}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }= \lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{\Delta x + \Delta y + \frac{\Delta x^{3}\Delta y}{\Delta x^{4}+\Delta y^{2}} -\Delta x- \Delta y}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} } =\lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{\frac{\Delta x^{3}\Delta y}{\Delta x^{4}+\Delta y^{2}}}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }=\lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} {\frac{\Delta x^{3}\Delta y}{(\Delta x^{4}+\Delta y^{2}) \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }}\)
Ponieważ dla \(\displaystyle{ \Delta y=\Delta x^{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0^{+}} {\frac{\Delta x^{5}}{2\Delta x^{4} \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta x^{4}} }=\lim_{\Delta x \to 0^{+}} {\frac{\Delta x}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta x^{4}} }=\lim_{\Delta x \to 0^{+}} {\frac{\Delta x}{\Delta x \sqrt{1+\Delta x^{2}} }=\lim_{\Delta x \to 0^{+}} {\frac{1}{\sqrt{1+\Delta x^{2}} }=1}\)
Więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różniczkowalna.
\(\displaystyle{ \lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)-f'_{x}(x,y)\Delta x - f'_{y}(x,y)\Delta y}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }=0}\)
Więc tutaj musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(x,y)-f'_{x}(0,0)\Delta x - f'_{y}(0,0)\Delta y}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }=0}\)
\(\displaystyle{ f'_{x}(0,0)= \lim_{ \Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} =\lim_{ \Delta x \to 0} \frac{\Delta x-0}{\Delta x} =\lim_{ \Delta x \to 0} 1=1}\)
\(\displaystyle{ f'_{x}(0,0)= \lim_{ \Delta y \to 0} \frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} =\lim_{ \Delta y \to 0} \frac{\Delta y-0}{\Delta y} =\lim_{ \Delta y \to 0} 1=1}\)
więc:
\(\displaystyle{ \lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f'_{x}(0,0)\Delta x - f'_{y}(0,0)\Delta y}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }= \lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{\Delta x + \Delta y + \frac{\Delta x^{3}\Delta y}{\Delta x^{4}+\Delta y^{2}} -\Delta x- \Delta y}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} } =\lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{\frac{\Delta x^{3}\Delta y}{\Delta x^{4}+\Delta y^{2}}}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }=\lim_{ (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} {\frac{\Delta x^{3}\Delta y}{(\Delta x^{4}+\Delta y^{2}) \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} }}\)
Ponieważ dla \(\displaystyle{ \Delta y=\Delta x^{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0^{+}} {\frac{\Delta x^{5}}{2\Delta x^{4} \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta x^{4}} }=\lim_{\Delta x \to 0^{+}} {\frac{\Delta x}{ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta x^{4}} }=\lim_{\Delta x \to 0^{+}} {\frac{\Delta x}{\Delta x \sqrt{1+\Delta x^{2}} }=\lim_{\Delta x \to 0^{+}} {\frac{1}{\sqrt{1+\Delta x^{2}} }=1}\)
Więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różniczkowalna.
-
szalona całka
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 16:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: AGH
-
qavaxb
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 3 cze 2008, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niedzica
- Podziękował: 1 raz
Zbadać różniczkowalność
Ponieważ przy funkcjach wielu zmiennych możesz dochodzić do punktu z nieskończenie wielu kierunków.
W tym wypadku akurat dochodzimy do punktu po paraboli
W tym wypadku akurat dochodzimy do punktu po paraboli
-
seldom
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 18 lis 2006, o 11:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: przybywam?
Zbadać różniczkowalność
Jak chcesz możesz zastosować współrzędne biegunowe. Upraszcza sprawę w wielu wypadkach.