jak obliczyc pole figury ograniczonej
\(\displaystyle{ \varphi\in\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right) \cup\left(\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ r\in\left(0,\sqrt{cos2\varphi}\right)}\)
pole figury
-
krzysiek_bienio
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 27 kwie 2008, o 11:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubliniec
- Podziękował: 2 razy
-
gedackt
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 27 sie 2008, o 10:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy
- Podziękował: 1 raz
pole figury
Ja bym to policzył za pomocą całki powierzchniowej z jedynki. Zbiór jest zadany za pomocą współrzędnych biegunowych \(\displaystyle{ \begin{cases} x=r\cos \varphi \\ y=r\sin \varphi \end{cases}}\), Jakobian tego przekształcenia wynosi \(\displaystyle{ r}\) więc całka:
\(\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}d\varphi t_0^{\sqrt{\cos (2\varphi)}} r\,dr+
t_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}d\varphi t_0^{\sqrt{\cos (2\varphi)}} r\,dr=
t_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}d\varphi \frac{r^2}{2}|_0^{\sqrt{\cos (2\varphi)}}+
t_{\frac{3\pi}{4}}^\frac{5\pi}{4}d\varphi \frac{r^2}{2}|_0^{\sqrt{\cos (2\varphi)}} =
t_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(2\varphi)}{2}\,d\varphi+
t_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\frac{\cos(2\varphi)}{2}\,d\varphi =1}\)
Taki jest mój pomysł, jeżeli ktoś znajdzie błąd w tym rozumowaniu, to proszę o poprawienie mnie
\(\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}d\varphi t_0^{\sqrt{\cos (2\varphi)}} r\,dr+
t_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}d\varphi t_0^{\sqrt{\cos (2\varphi)}} r\,dr=
t_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}d\varphi \frac{r^2}{2}|_0^{\sqrt{\cos (2\varphi)}}+
t_{\frac{3\pi}{4}}^\frac{5\pi}{4}d\varphi \frac{r^2}{2}|_0^{\sqrt{\cos (2\varphi)}} =
t_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(2\varphi)}{2}\,d\varphi+
t_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\frac{\cos(2\varphi)}{2}\,d\varphi =1}\)
Taki jest mój pomysł, jeżeli ktoś znajdzie błąd w tym rozumowaniu, to proszę o poprawienie mnie