pochodna - funkcja parzysta

[tomo88]

Witam
mam problem z zadaniem
jesli ktos moze pomoc to bede wdzieczny
Oto one:
Przyjmijmy, że funkcja jest parzysta i f'(3)=7. Oblicz f'(-3).








Pozdrawiam

[natkoza]

pochodna funkcji parzystej (odpowiednio: nieparzystej) jest funkcją nieparzystą (odpowiednio: parzystą)
dowód tego nie jest bardzo trudny

[tomo88]

A mogla bys Natkoza pokazac mi ten dowod?
Bede Twoim dluznikiem:)

[natkoza]

dla funkcji parzystej:
\(\displaystyle{ f'(-x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{f(x-h)-f(x)}{h}=-\lim_{h\to 0} \frac{f(x-h)-f(x)}{-h}=-f'(x)}\)

[tomo88]

nie rozumiem skad sie to bierze

\(\displaystyle{ -\lim_{h \to0 } \frac{f(x-h)-f(x)}{-h} =-f'(x)}\) przeciez
\(\displaystyle{ -f'(x)=- \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)- f(x)}{h} ???}\)


Mozliwe, ze sie pomylilem. Jesli mogla bys mnie naprowadzic na wlasciwa droge to sie bede cieszyl. )

[Zeratul]

Nie ma znaczenia, czy przy \(\displaystyle{ h}\) jest znak plusa czy minusa, bo \(\displaystyle{ h}\) i tak może dążyć do zera zarówno przez wartości dodatnie jak i ujemne.

A jeśli koniecznie chcesz mieć tam plusa, to można łatwo go otrzymać:
Mając granicę \(\displaystyle{ -\lim_{h \to 0}{f(x-h)-f(x) \over -h}}\) robimy po prostu podstawienie \(\displaystyle{ t=-h}\). Oczywiście \(\displaystyle{ t\to 0}\), więc teraz granica wygląda tak:
\(\displaystyle{ -\lim_{t \to 0}{f(x+t)-f(x) \over t}=-f'(x)}\).