równanie różniczkowe

[k_burza]

Proszę o rozwiązanie równania takiego jak w temacie:
\(\displaystyle{ xy' + y = x sinx}\)

[spajder]

\(\displaystyle{ x\frac{dy}{dx}+y=x\sin{x}}\)

\(\displaystyle{ xdy+ydx-x\sin{x}dx=0}\)

dzielimy przez \(\displaystyle{ xy}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}+\frac{dx}{x}-\sin{x}dx=0}\)

teraz scałkuj równanie i praktycznie gotowe

[Vigl]

\(\displaystyle{ RJ: xy'+y=0}\)
\(\displaystyle{ x\frac{dy}{dx}=-y}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}}\) \(\displaystyle{ | \int}\)
\(\displaystyle{ ln|y|=-ln|x|+C=-ln|x|+ln(D*)}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{D}{x}}\)
Wariujemy stałą by znaleźć rozwiązanie równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ y=\frac{D(x)}{x}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{D'(x)}{x}-\frac{D(x)}{x^{2}}}\)
Podstawiam do równania wyjściowego: \(\displaystyle{ D'(x)-\frac{D(x)}{x}+\frac{D(x)}{x}=xsinx==>D'(x)=xsinx}\)
\(\displaystyle{ D(x)=\int xsinxdx=sinx-xcosx}\)(przez części)
\(\displaystyle{ RSRN: y_{s}=\frac{sinx-xcosx}{x}}\)
\(\displaystyle{ RORN: y=\frac{sinx-xcosx+D}{x}}\)

[ Dodano: 4 Września 2008, 18:13 ]

dzielimy przez xy
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}+\frac{dx}{x}-\sin{x}dx=0}\)
teraz scałkuj równanie i praktycznie gotowe

Nie możesz tak zrobić. Dopisałeś sobie znikąd dx przy sinusie. Poza tym po dzieleniu wyrażenia przez xy dostajesz \(\displaystyle{ \frac{dy}{y}+\frac{dx}{x}-\frac{sinx}{y}=0}\), a tego tak po prostu nie scałkujesz.

[k_burza]

Dzięki Vigl, wiem gdzie miałem błąd, zostawiłem jakby minus przez wszyskim pod koniec RJ, nie wiem jakim cudem, i kombinowałem z (- x * D(x)). Już wszystko jasne.