granice ciągów

[MitS]

Witam serdecznie,

chciałbym was prosić o pomoc - chodzi o pomoc w rozwiąznaiu jedengo przykłądu z którym mam problem:

a.) \(\displaystyle{ a _{n} = ft( \frac{n+2}{n} \right) ^{-3n}}\)

domyślam się że wynik będzie coś na wzór "e" ale nie potrafie tego rozwiązac.

b.) \(\displaystyle{ a _{n} = \sqrt[n]{2 ^{n} + 5 ^{n} + 23 }}\)

zas w pkt. b domyślam się ze trzeba uzyc twierdzenia o trzech ciągach ale jak to stosuje to herezja mi wychodzi.

[dr_grucha]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } ft( \frac{n+2}{n} \right) ^{-3n} =\lim_{n \to } ft( 1+ \frac{2}{n} \right) ^{ \frac{n}{2} -6} =e ^{-6}}\)

[natkoza]

\(\displaystyle{ 5\leftarrow 5=\sqrt[n]{5^n}\leq \sqrt[n]{2^n+5^n+23}\leq \sqrt[n]{5^n+5^n+5^n}=\sqrt[n]{3\cdot 5^n}=\sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[n]{5^n}\to 5}\)
zatem szukana granica to 5

[MitS]

Dziękuje za odpowiedzi,

jeszcze do pkt a mam pytanie tzn. skąd się wzieło (w potędze) z liczby -3n liczba: \(\displaystyle{ \frac{n}{2} (-6)}\) ??

[dr_grucha]

\(\displaystyle{ \frac{n}{2} -6=\frac{-6n}{2}=-3n}\)