Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego

[uwielbiamp]

Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ (a_{n})}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ a_{5}-a_{3}=1680}\) i \(\displaystyle{ a_{3}+a_{4}=560}\)

[*Kasia]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1\cdot q^4-a_1\cdot q^2=1680\\ a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3=560\end{cases}\\
\frac{q^2(q^2-1)}{q^2(1+q)}=\frac{1680}{560}\\ \\
...}\)

[learnmath]

Nie potrafię zrozumieć,jak zredukowano \(\displaystyle{ a _{1}}\) Potrafi ktoś dogłebniej wyjaśnić z czego wynika ten zredukowany ułamek.

[Inkwizytor]

^^ Iloraz pierwszej linijki z drugą linijką

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1(q^4-q^2)=1680 \\ a_1(q^2+q^3) =560 \end{cases} \\
\begin{cases} a_1= \frac{1680}{q^4-q^2} \\
a_1= \frac{560}{q^2+q^3} \end{cases} \\
\Downarrow \\
\frac{560}{q^2(1+q)}= \frac{1680}{q^2(q^2-1)}}\)

[learnmath]

Rozwiąże ktoś to do końca ? rozkminamy we dwójke, jest tęga rozkminka, ale nie dajemy rady. Prosimy o wynik ze szczegółowymi krokami. prosimy

Wynik to \(\displaystyle{ q=4 a _{1} = 7}\)

mi q wychodzi 6, koledze 3

[Inkwizytor]

ale czego dalej nie potrafisz w równaniu Kasi?

[learnmath]

Potrzebujemy, wszystkie obliczenia, od momentu równania Kasi. Ponieważ, nie potrafimy tego dfalej rozpisać :O. probowalismy, ale ciągle jest źle

[Lbubsazob]

Po wymnożeniu zostaje takie coś:
\(\displaystyle{ 560q^2(q^2-1)=1680q^2(q+1)}\)

Można to podzielić przez \(\displaystyle{ 560q^2}\) i zostaje
\(\displaystyle{ q^2-1=3q+3 \\
q^2-3q-4=0}\)
Zwykłe równanie kwadratowe do rozwiązania.

[Inkwizytor]

Można też prościej
Wychodząc z:

\(\displaystyle{ \frac{q^2(q^2-1)}{q^2(1+q)}=\frac{1680}{560}}\)

\(\displaystyle{ \frac{q^2-1}{1+q}=3}\)
w liczniku zastosować wzór na róznicę kwadratów i....pozamiatane