zamiana zmiennych w calce podwojnej

[badfroger]

Moglby mi ktos wytlumaczyc zamiane zmiennych na tym przykladzie oraz rozwiazanie tego zadania?
zamiane zmiennych to tak najlepiej krok po kroku i na chlopski rozum, z gory dzieki

\(\displaystyle{ \int_{D} \sqrt{x^2 + y^2}dxdy}\)

gdzie\(\displaystyle{ D={(x,y) R^2: x^2 + y^2 qslant 1}}\)

[steal]

Obszar \(\displaystyle{ D}\) jest kołem - zastosujemy wsp. biegunowe:
\(\displaystyle{ x=r\cos\varphi \quad y=r\sin\varphi}\)
Jakobian przekształcenia: \(\displaystyle{ J=r}\)
Nowy obszar jest opisany następująco: \(\displaystyle{ \Delta: \{ 0\leq \varphi\leq2\pi \quad 0\leq r\leq 1\}}\)
\(\displaystyle{ \\ \iint_{\Delta}\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}\cdot\left|J\right|drd\varphi=\iint_{\Delta}\sqrt{r^2}rdrd\varphi=\iint_{\Delta}r^2drd\varphi=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^1r^2dr= \\ =\int_0^{2\pi}\left[\frac{1}{3}r^3\right]^1_0d\varphi=\frac{1}{3}\int_0^{2\pi}(1-0)d\varphi=\frac{2}{3}\pi}\)

[badfroger]

czy wspolrzedne biegunowe stosuje sie zawsze przy zamianie zmiennych?
skad znamy nowy obszar, jak go obliczyc?

[steal]

Zamianę zmiennych dokonujemy, gdy wprowadzenie nowych zmiennych upraszcza/ułatwia rachunki. Jeżeli obszar jest ograniczony okręgiem, częścią okręgu to wprowadzamy współrzędne biegunowe, jeżeli mamy elipsę to poprzez odpowiednie dobranie zmiennych przekształcimy ją w okrąg, możemy również tak dobrać zmienne by z równoległoboku powstał prostokąt.
W przypadku zmiennych biegunowych obszar jest opisany przez dwie wielkości: promień wodzący zaczepiony w środku nowego układu współrzędnych oraz kąta pod którym jest ten promień nachylony względem osi OX. Czyli dla danego zadania długość promienia wodzącego zmienia się od środka do linii okręgu - \(\displaystyle{ R\in\left}\), a kąt jaki zatacza: \(\displaystyle{ \varphi ft}\)

[badfroger]

ale skad ja to wiem jak zmienia sie dlugosc promienia wodzacego i jaki kat zatacza?

[steal]

\(\displaystyle{ D={(x,y) R^2: x^2 + y^2 qslant 1}}\)

Wyraźnie widać tutaj wzór koła o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i środku w początku układu współrzędnych.
Zresztą, zawsze wypada narysować obszar po którym liczymy całkę.

[badfroger]

ale z tego chyba nie wynika jaki kat zatacza?

jeszcze jedno pytanie, nie wiem czy to zgodne z regulaminem ale:
w Krysickim-Włodarskim w Analizie II na str 130 jest zad 4.30
czy tam trzeba stosowac wspolrzedne biegunowe?jaka tam tzreba zamiane zmiennych zastosowac

[steal]

Wynika - przecież mamy pełne koło, a więc kąt zmienia się od kąta zerowego do kąta pełnego.

Odnośnie pytania do zadania z Krysickiego - tak, najlepiej przejść tam na współrzędne biegunowe.

[badfroger]

steal a moglbys jeszcze zrobic to zadanie z krysickiego co napisalem?, bo mi nie wychodzi, bylbym wdzieczny

[luka52]

badfroger, najpierw przedstaw treść tego zadania.

[badfroger]

Znalesc objetosc bryly lezacej nad plaszczyzna \(\displaystyle{ Oxy}\) i ograniczonej plaszczyzna \(\displaystyle{ z=3x}\),
powierznia \(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\) oraz plaszczyznami \(\displaystyle{ Oxy \ i \ Oxz}\)

[steal]

Po wykonaniu rysunku widzimy, że do policzenia mamy całkę po obszarze który jest ćwiartką koła.
\(\displaystyle{ \Delta=\{\varphi\in\left \quad r\in\left\}}\)
\(\displaystyle{ \iint_D3xdxdy=3\iint_Dxdxdy=3\iint_{\Delta}r\cos\varphi drd\varphi=3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi d\varphi\int_0^2rdr}\)

[badfroger]

moze ja jestem trudnym przypadkiem ale dalej nie rozumie skad wiem ze to jest wlasnie cwiartka kola?rysunek tez nie wiem jak narysowac a domyslam sie ze tylko z niego mozna sie to tego dowiedziec

[steal]

No niestety, nie jestem Ci w stanie narysować rysunku. Podpowiem, że dane w zadaniu płaszczyzny Oxy i Oxz są prostopadłe do płaszczyzny Oxy i przechodzą przez osie Ox i Oy. Kroją więc ją na cztery części, stąd do policzenia mamy tylko obszar D w kształcie ćwiartki okręgu.

[luka52]

rysunek tez nie wiem jak narysowac a domyslam sie ze tylko z niego mozna sie to tego dowiedziec

Nie jest to prawda. Wystarczy przeanalizować treść zadania:

Znalesc objetosc bryly lezacej nad plaszczyzna \(\displaystyle{ Oxy}\) i ograniczonej plaszczyzna \(\displaystyle{ z=3x}\)

stąd wniosek, że \(\displaystyle{ 0 < z < 3x}\), oraz \(\displaystyle{ x > 0}\).

powierznia \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 4}\)

czyli \(\displaystyle{ x [0,2]}\) oraz \(\displaystyle{ - \sqrt{4 - x^2} < y < \sqrt{4-x^2}}\)

oraz plaszczyznami \(\displaystyle{ Oxy \ i \ Oxz}\)

\(\displaystyle{ y,z>0}\)

Ostatecznie łącząc powyższe, otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ 0t_0^2 t_0^{\sqrt{4-x^2}} 3x \; \mbox d y \; \mbox d x}\)

W celu uproszczenia rachunków wygodnie jest przejść do wsp. biegunowych. W naszym przypadku obszarem, po którym całkujemy jest pierwsza ćwiartka koła leżącego w płaszczyźnie Oxy i środku w początku układu wsp. Zatem reszta przebiegać będzie, tak jak to napisał steal.