Dywagacje... na temat pola wykresu funkcji dwóch zmiennych

[jacekvool]

Siema, to znowu ja i moje dywagacje
a mianowicie chodzi mi o wzór na pole powierzchni wykresu funkcji z = f(x,y) po pewnym obszarze D (np. po prostokącie)

znalazłem na angielskiej wikipedii, że jest to:
\(\displaystyle{ \iint_D\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\;\; dx dy}\)

niestety, jakbym nie liczył, to wychodzi mi nieco inny wzór, może na razie nie będę pisał jaki, żeby nic nie sugerować. Jak wyprowadzić prawidłowy wzór (czyli ten wyżej) ?

[N4RQ5]

Traktujesz ten wykres jako rozmaitość 2 wymiarową w 3 wymiarowej przestrzeni. Daną przekształceniem \(\displaystyle{ f: \mathbb R ^2 \mathbb R^3}\) Całkujesz zwykłą jedynkę po powierzchni tej rozmaitości .
\(\displaystyle{ \int\limits_{f(D)}1 \mbox{d}s = t\limits_D Vol_f(x,y) \mbox{d}(x,y)}\)
Wyznaczenie współczynnika rozciągnięcia jest stosunkowo proste. Macierz różniczki przekształcenia f wygląda tak:
\(\displaystyle{ D = ft[ \begin{matrix}
1 & 0 \\ 0 & 1 \\
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}
\end{matrix} \right]}\)
I po przeliczeniach \(\displaystyle{ Vol_f = \sqrt {D D^T} = \sqrt {1+ ft( \frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + ft(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}}\)

[jacekvool]

Przykro mi, ale nic nie rozumiem :} Mógłbym prosić bardziej elementarnie? :}

[N4RQ5]

A wiesz co to jest całka powierzchniowa po rozmaitości? Jeśli nie to chyba nie podejmę się wykładania tego ale zawsze możesz poszukać źródeł pisanych i próbować sam sę nauczyć.

[jacekvool]

Z chęcią, ale... podejrzewam, że da się to pokazać w jakiś naprawdę prosty sposób nie używając tych pojęć, o których piszesz

[luka52]

Zatem mamy daną powierzchnię \(\displaystyle{ S}\), która jest opisana równaniem \(\displaystyle{ z = f(x,y)}\).
Obierając dowolny punkt na S można poprowadzić w nim dwie proste styczne do płaszczyzny - jedną równoległą do płaszczyzny Oyz i drugą równoległą do płaszczyzny Oxz. Zaczepiając w tym punkcie dwa infinitezymalnie krótkie wektory \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) tak, że pokrywają się odpowiednio z wcześniej poprowadzonymi prostymi możemy wyliczyć różniczkę powierzchni jako \(\displaystyle{ | \vec{u} \vec{v} |}\). Całkując po całym obszarze możemy obliczyć szukane pole:
\(\displaystyle{ \mbox S = \iint_D ft| \vec{u} \vec{v} \right| = \iint_D ft|\left( \mbox d x ,0 , \mbox d z \right) ft( 0 , \mbox d y , \mbox d z \right) \right| = \iint_D \sqrt{ ft( \mbox d y \; \mbox d z \right)^2 + ft( \mbox d x \; \mbox d z \right)^2 + ft( \mbox d x \; \mbox d y \right)^2} = \\
= \iint_D \sqrt{1 + z_x'^2 + z_y'^2 } \; \mbox d x \; \mbox d y}\)


PS. Ciężko jest mi pisać coś mądrego teraz, mam nadzieję, że rysunek pomocniczy i przekształcenia zrekompensują pewne teoretyczne nieścisłości ;].

[steal]

@luka52 - skąd rysunek (ewentualnie jaki program:P)?

[luka52]

Skitch

[jacekvool]

dzięki. problem uważam za rozwiązany mój błąd polegał na tym, że przyjmowałem, że wektory u i v są prostopadłe i liczyłem pole prostokąta zamiast pola równoległoboku... teraz wszystko jasne.