Ciekawy twierdzenie

[szymek12]

Udowodnij, ze jeżeli p,q \(\displaystyle{ \geqslant}\) 0, to:
\(\displaystyle{ (pq+2p+2q+4)(p+q) qslant 16pq}\)
Uzasadnić, kiedy zachodzi równość?

[frej]

To wygląda tak:
\(\displaystyle{ (p+2)(q+2)(p+q) qslant 16pq}\)
Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną uzyskujemy:
\(\displaystyle{ (p+2)(q+2)(p+q) qslant 2 \sqrt{2p} 2 \sqrt{2q} 2 \sqrt{pq}=8 \sqrt{p^2\cdot q^2\cdot 4}=16pq}\)

równość zachodzi, kiedy \(\displaystyle{ p=q=2}\), tzn.. wtedy, kiedy \(\displaystyle{ p+2=2\sqrt{2p} q+2=2\sqrt{2q} p+q=2\sqrt{pq}}\), czyli kiedy średnia arytmetyczna jest równa średniej geometrycznej a to jest równe tylko dla tych samych liczb.

[Krabicz]

To wygląda tak:
\(\displaystyle{ (p+2)(q+2)(p+q) qslant 16pq}\)
Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną uzyskujemy:
\(\displaystyle{ (p+2)(q+2)(p+q) qslant 2 \sqrt{2p} 2 \sqrt{2q} 2 \sqrt{pq}=8 \sqrt{p^2\cdot q^2\cdot 4}=16pq}\)

Mógłbyś mi to jakoś wytłumaczyć? To z średnią arytmetyczną i geometryczną. Na podstawie czego z niej korzystasz? Czytałem już o tym w kompendium, ale nie rozumiem za bardzo tego zapisu.

[frej]

nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną dwóch liczb:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} qslant \sqrt{ab}}\).
I to zachodzi dla każdych dwóch nieujemnych liczb. Wobec tego mogę to zastosować dla liczb \(\displaystyle{ p+2, q+2, p+q}\). Zatem następuje co napisałem w poprzednim poście.