Dywagacje na temat pola i objętości kuli

[jacekvool]

... a w zasadzie nie tylko kuli, ale wszystkich brył obrotowych. Chcemy policzyć objętość bryły która powstała w wyniku obrotu dodatniej funkcji f(x) na przedziale wokół osi x. Sumujemy sobie objętości infinitezymalnie "płaskich" walców, z których każdy ma objętość \(\displaystyle{ \pi [f(x)]^2dx}\). Zatem szukana objętość to: \(\displaystyle{ V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx}\). No i ten wzór jest dobry. A teraz chcę policzyć pole powierzchni bocznej naszej bryły. Analogicznie jak poprzednio: każdy walec ma pole boczne \(\displaystyle{ 2\pi f(x)dx}\), więc pole: \(\displaystyle{ P=2\pi\int_{a}^{b}f(x)dx}\). A tu dupa, bo okazuje się że prawidłowy wzór to \(\displaystyle{ P=2\pi\int_{a}^{b}f(x) \sqrt{1+ [f'(x)]^2} dx}\).

Czemu?

Dodam jeszcze, że wiem, że \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} \sqrt{1+ [f'(x)]^2} dx}\) to długość łuku krzywej na przedziale od a do b, ale... co z tego ?

[soku11]

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node85.html

W necie wszystko jest POZDRO

[jacekvool]

Dzięki za link. W takim razie gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

[losiu99]

jacekvool: mała poprawka, zjadłeś kwadrat -
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}}\)
Co do problemu to mam nadzieję, że ktoś go rozwiąże, bo mi przychodzą do głowy tylko co najmniej naciągane "wytłumaczenia", a jestem ciekawy odpowiedzi.
Przepraszam, że się czepiam i pozdrawiam.

[jacekvool]

@losiu99 - dzięki, już poprawiłem

[miki999]

Przede wszystkim temat brzmi pole i objętość kuli, a pytanie dotyczy walca...

Analogicznie jak poprzednio: każdy walec ma pole boczne \(\displaystyle{ 2\pi f(x)dx}\), więc pole: \(\displaystyle{ P=2\pi\int_{a}^{b}f(x)dx}\).

O czym tu jest mowa??



W podanym wyżej linku jest chyba wyraźnie wytłumaczone, jeżeli nie to odsyłam do tomu 2. Pana Fichtenholza (str. 184-186)

Pozdrawiam.

[jacekvool]

Pytanie nie dotyczy walca - dobrze przeczytałeś? Ja wiem, że to jest tam wyraźnie wytłumaczone, ale czemu moje rozumowanie jest błędne?

[steal]

Powierzchnia bryły obrotowej jest zakreślona przez krzywą o pewnej długości. A więc interesuje nas suma wszystkich powierzchni zakreślonych przez wycinki tej krzywej. Wycinek krzywej jesteśmy w stanie przybliżyć przez pewien odcinek, który nie musi być równoległy do osi obrotu. Zakreśla on wtedy przy obrocie powierzchnię ściętego stożka - a nie walca, tutaj wg mnie tkwi Twój błąd.

Jak dla mnie to wyprowadzenie wygląda tak:
\(\displaystyle{ dS=2\pi f(x)dl}\) - pole wycinka (ściętego stożka)
\(\displaystyle{ dS=2\pi f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df}{dx}\right)^2}dx}\)
\(\displaystyle{ S=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\left(\frac{df}{dx}\right)^2}dx}\)

[jacekvool]

Zakreśla on wtedy przy obrocie powierzchnię ściętego stożka - a nie walca, tutaj wg mnie tkwi Twój błąd.

...no tak. Dzięki - to wytłumaczenie mnie przekonuje. Ale... w takim razie wróćmy do objętości: czy powinno się sumować objętości ściętych stożków, czy po prostu walców? Sumując walce otrzymujemy dobry wynik - pokazałem to w pierwszym poście - czy to znaczy, że drogą błędnego rozumowania otrzymałem dobry wynik?

[steal]

Rzadko zdarza się aby błędne rozumowanie prowadziło do poprawnych wyników. Poczytaj tym razem ten artykuł:

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node81.html

.

pozdrawiam