[Analiza] granica, część całkowita

[frej]

zad.
Obliczyć
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{\left[ P(x)\right]}{P(\left[ x \right])}}\) , gdzie \(\displaystyle{ P(x)=x^{13}+x^{7}+x+1}\)

I teraz mam pytanie, skoro funkcja jest określona dla zera, to czy mogę podstawić \(\displaystyle{ x=0}\)?

Jeśli nie to muszę uwzględniać, że \(\displaystyle{ x= \left[ x \right] + \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \langle0,1)}\) i potem podnosić do tych potęg \(\displaystyle{ 13}\) i \(\displaystyle{ 7}\)?

[Rogal]

Niewątpliwie jest ważne, z której strony się zbliżasz do zera.

[Sylwek]

Musisz poczytać troszkę o granicach . Na moje oko granica nie istnieje, gdyż granica prawostronna:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0_+} \frac{\left[ P(x)\right]}{P(\left[ x \right])}=\frac{1}{P(0)}=\frac{1}{1}=1}\)
nie jest równa lewostronnej:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0_-} \frac{\left[ P(x)\right]}{P(\left[ x \right])}=\frac{0}{P(-1)}=\frac{0}{-2}=0}\)

Wiem, że w kółku jest napisane co innego, ale tam jest błąd na błędzie

Gwoli wyjaśnienia: \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0_+} f(x)}\) - granica funkcji f dla x dążącego do zera od strony liczb dodatnich, czyli x znajduje się blisko zera (nie jest zerem!), ale x jest liczbą dodatnią. Analogicznie definiujemy: \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0_-} f(x)}\), podobnie, gdy zastąpimy 0 jakąkolwiek inną wartością.

[JHN]

mam pytanie, skoro funkcja jest określona dla zera, to czy mogę podstawić \(\displaystyle{ x=0}\)?

Możesz, ale wtedy obliczysz wartość funkcji w zerze oraz granicę prawostronną
A wygląda na to, że funkcja spod granicy nie jest ciągła i
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0_-}\frac{[x^{13}+x^7+x+1]}{[x]^{13}+[x]^7+[x]+1}={0\over -2}=0}\)
bo
\(\displaystyle{ [0_-]^7=(-1)^7=-1}\) oraz \(\displaystyle{ [0_-^{13}+0_-^{7}+0_-+1]=[1_-]=0}\)
Pozdrawiam