Okrąg wpisany w trapez prostokątny

[nwnuinr]

Cześć,

Chciałbym zwrócić Waszą uwagę na kąty w tym zadaniu, ponieważ nie jestem pewien czy na pewno tam są kąty proste, i czy promień okręgu jest równy wysokości trójkąta OCB.

Środek okręgu, wpisanego w trapez prostokątny, znajduje się w odległości 4 oraz 8 od końców dłuższego ramienia trapezu. Oblicz pole tego trapezu.

Rysunek:


Pozdrawiam.

[frej]

Z Pitagorasa obliczysz \(\displaystyle{ \left| BC \right|}\) Potem ze wzoru na pole trójkąta wyliczysz długość promienia okręgu \(\displaystyle{ \frac{4\cdot 8}{2}=\frac{r\cdot ft| BC \right| }{2}}\)
Teraz zostaje obliczyć pole. Zauważ, że na te pole składa się pole prostokąta i trzech trójkątów prostokątnych, więc do obliczenia długości wszystkich przyprostokątnych użyj twierdzenia Pitagorasa.

Promienie okręgu do boków trapezu muszą być prostopadłe, bo są to styczne. Nie wiem jednak dlaczego kąt między odcinkami o długościach \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 8}\) musi być prosty ( jak nie będzie, to nie wiem jak zrobić to zadanie) , ale jak wymyślę, to napiszę. Mam nadzieję, że teraz już wiesz, jak to obliczyć.

[nwnuinr]

W sumie jakby tam nie było kąta prostego to można by to obliczyć wzorem Herona. Też wychodzi pole 16.

\(\displaystyle{ P = \sqrt{(6+2 \sqrt{5})(6+2 \sqrt{5}-4)(6+2 \sqrt{5}-8)(6+2 \sqrt{5}-4 \sqrt{5}) }}\)[/latex]

[frej]

Ok, już wiem. Środek okręgu znajduje się na prostej zawierającej odcinek o długości \(\displaystyle{ 8}\). Odległość od prostej z danego punktu ( w tym wypadku wierzchołka trapezu) jest odcinkiem prostopadłym do prostej, więc odcinek o długości \(\displaystyle{ 4}\) jest prostopadły do odcinka o długości \(\displaystyle{ 8}\).

[ Dodano: 11 Lipca 2008, 13:01 ]
W jaki sposób wzorem Herona, skoro nie znamy trzeciego boku, skoro to nie miałby być trójkąt prostokątny, to nie mógłbyś użyć tw. Pitagorasa, więc nie wiedziałbyś, że ten bok ma długość \(\displaystyle{ 4\sqrt{5}}\).

[nwnuinr]

A no tak, mój błąd. Dzięki za pomoc.

[limes123]

musi być prosty ( jak nie będzie, to nie wiem jak zrobić to zadanie)

ten kąt jest prosty, ponieważ jest wyznaczony przez dwusieczne kątów przy jednym ramieniu. Oznaczmy wierzchołki przy dłużyszm ramieniu przez A i B. Kąt A + kąt B jest półpełny, czyli ich połowy dają w sumie 90 stopni.

[snm]

Zgadzam się - fakt, że znajduje się na prostej nie jest wystarczającym powodem prostopadłości frej

[frej]

snm, wyjaśnienie limesa do mnie przemawia, ale dlaczego moje rozwiązanie nie jest dobre?
Jeżeli odcinek długości \(\displaystyle{ 4}\) jest prostopadły do prostej, a odcinek długości \(\displaystyle{ 8}\) należy do prostej, czyli jest równoległy do niej, to dlaczego nie jest ten odcinek prostopadły do drugiego?
Czy tu nie działa przechodniość?

[DEXiu]

frej ==> Rozróżniaj pojęcia odległości punktu od punktu i punktu od prostej. Bo Twoim sposobem można udowodnić prostopadłość dowolnych dwóch prostych. Z faktu, że odległość punktów C i O wynosi 4, a punkt O leży na jakiejś prostej wcale nie wynika, że odcinek CO jest prostopadły do tej prostej.

[frej]

racja, mój błąd oczywiście.