Dwie całki nieoznaczone

[bmbk]

1. Oblicz całkę nieoznaczona funkcji wymiernej
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ x^{3} +x}}\)

2. Oblicz całkę nieoznaczona całkując przez cześci

\(\displaystyle{ \int_{}^{} 2 x ln(x)dx}\)

[Dargi]

\(\displaystyle{ \int 2xln(x)dx}\)
\(\displaystyle{ lnx=u\iff \frac{1}{x}dx=du}\)
\(\displaystyle{ 2xdx=dv\iff x^2=v}\)

\(\displaystyle{ x^2lnx-\int 2x dx}\)
Dalej sobie poradzisz.

[bmbk]

A mozna prosić o pełne rozwiązanie ? Na wszelki wypadek

[Dargi]

\(\displaystyle{ =x^2lnx-x^2=x^2(lnx-1)}\)

[natkoza]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^3+x}=\int \frac{dx}{x(x^2+1)}=\int \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}dx}\)
rozwiązując odpowiedni układ równań mamy, ze \(\displaystyle{ \begin{cases} A=1\\B=-1\\C=0\end{cases}}\)
zatem kontynuujemy liczenie całki:
\(\displaystyle{ =\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{-x}{x^2+1}dx=ln|x|-\frac{1}{2}ln|x^2+1|+C}\)