Wykaż, że funkcja jest malejąca

[wilczek90]

Korzystając z definicji funkcji malejącej wykaż, że funkcja

\(\displaystyle{ f(x)= \left|x+2 \right|}\) jest malejąca w zbiorze \(\displaystyle{ (-\infty ;-2>}\)

[MagdaW]

\(\displaystyle{ f(x)=|x+2|

dla x (\infty; -2]}\)

f(x)=|x+2|=-x-2


Funkcja jet malejąca gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny, zatem się zgadza.

[natkoza]

ust.
\(\displaystyle{ x_1,x_2\in (-\infty,-2],x_1>x_2\\
f(x_1)-f(x_2)=|x_1+2|+|x_2+2|=-x_1-2+x_2+2=-x_1+x_2=-\underbrace{(x_1-x_2)}_{>0}}\)

[Wrangler]

Natrafiłem na to samo zadanie i nie do końca mi się podoba powyższe rozwiązanie, bo od razu zostało założone, że \(\displaystyle{ x_2=-2}\)..
Czy nie jest "bezpieczniejsze" rozwiązanie w ten sposób? :
\(\displaystyle{ f(x_1)=|x_1+2|}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)=|x_2+2|}\)
\(\displaystyle{ x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}\)

\(\displaystyle{ |x_1+2|>|x_2+2| \ ()^2}\)

\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+4x_1+4>x_{2}^{2}+4x_2+4}\)

\(\displaystyle{ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+4(x_1-x_2)>0}\)

\(\displaystyle{ \underbrace{(x_1-x_2)}_{<0}\underbrace{(x_1+x_2+4)}_{<0}>0}\)

I na koniec chciałbym zapytać jak można opuścić w inny sposób moduły nie zakładając, że \(\displaystyle{ x_2=-2}\)?

[piasek101]

Nic takiego nie założono - dziedzina była narzucona.

[Wrangler]

to na jakiej podstawie w pierwszym module wyciągnięto minus, a w drugim nie?
Dla mnie to jest sygnał, że jako x2 zostało przyjęte -2, a przecież można by przyjąć chociażby -3, a x1=-4, i co wtedy?

[piasek101]

ust.
\(\displaystyle{ x_1,x_2\in (-\infty,-2],x_1>x_2\\
f(x_1)-f(x_2)=|x_1+2|+|x_2+2|=-x_1-2+x_2+2=-x_1+x_2=-\underbrace{(x_1-x_2)}_{>0}<0}\)

Tu była literówka i tyle.
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=|x_1+2|-|x_2+2|=-x_1-2+x_2+2=...}\)

[Wrangler]

sorry, ale nie rozumiem.. -.-

[piasek101]

Winno być :
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=|x_1+2|\red{-}\black|x_2+2|=-(x_1+2)-\left[-(x_2+2)\right]=...}\)

czyli ,,w obu modułach wyciągnięto minus".

[Wrangler]

dzięki, o to mi chodziło .
od wczoraj nie mogę wykazać z definicji funkcji malejącej, że ta funkcja jest malejąca:
\(\displaystyle{ f(x)=-x^3-3x+4}\)
Robiłem przekształcenia i ostatecznie doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ (x_2-x_1)(x_{2}^{2}+x_1x_2+x_{1}^{2}+3)>0}\)
Nie podoba mi się ten drugi nawias. Może dałbyś radę pomóc?