[MIX] Mix matematyczny (8)

[Sylwek]

Nie zwalniamy tempa, powodzenia


1. W czworościanie ABCD, \(\displaystyle{ \angle BAC + \angle BAD = 180^o}\), a odcinek AK jest dwusieczną kąta CAD. Wyznacz \(\displaystyle{ \angle BAK}\).

2. Dla danego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \backslash \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \lbrace k \pi \rbrace}\) wyznacz sumę \(\displaystyle{ S_n (x) = \sum_{k=1}^{n} \sin^2 kx}\) w postaci zwartej.

3. Dany jest wielokąt wypukły na płaszczyźnie. Udowodnij, że można przeciąć go prostą tak, aby dwie powstałe figury miały jednakowe pola i jednakowe obwody.

4. Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ x,y > 1}\) zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ | \frac{\sin (x^2)}{x}-\frac{\sin(y^2)}{y}| \leqslant 3 |x-y|}\).

5. Ciało \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\) (gdzie p jest liczbą pierwszą) to zbiór \(\displaystyle{ \lbrace 0,1,\ldots,p-1\rbrace}\) z działaniami dodawania i mnożenia zdefiniowanymi jako \(\displaystyle{ a+b := (a+b) \ (mod \ p)}\) oraz \(\displaystyle{ a b := ab \ (mod \ p)}\) (działania z prawej strony tych wzorów to działania zdefiniowane w zbiorze liczb całkowitych). Na przykład w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) mamy \(\displaystyle{ 3+4=2}\) oraz \(\displaystyle{ 2 3=1}\), zaś w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}}\) prawdziwe są równości: \(\displaystyle{ 2 7 = 3}\) oraz \(\displaystyle{ 10+20=8}\). Pytanie brzmi: dla jakich p pierwszych w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\) zachodzi twierdzenie o równości wielomianów?

6. Liczby nieujemne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a^2+b^2=4}\). Udowodnij, że: \(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b+2} \leqslant \sqrt{2}-1}\) i rozstrzygnij, kiedy zachodzi równość.

7. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geqslant \frac{2}{3}}\)

8. Funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \mathbb{R}}\) spełnia dla wszystkich \(\displaystyle{ a,b}\) nierówność \(\displaystyle{ |f(a)-f(b)|\leqslant |a-b|}\). Wykaż, że jeżeli: \(\displaystyle{ f(f(f(0)))=0}\) (3. iteracja), to \(\displaystyle{ f(0)=0}\).

9. Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ x^5-x+a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą całkowitą niepodzielną przez 5, nie może być iloczynem dwóch wielomianów o współczynnikach całkowitych.

10. Udowodnij, że wśród liczb postaci \(\displaystyle{ 50^n + (50n+1)^{50}}\), gdzie n jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

[Wasilewski]

2)
Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ sin^{2} kx = \frac{1-cos2kx}{2} \\
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} cos2kx = \frac{1}{2}n - \frac{1}{2} \Re \left( \sum_{k=1}^{n} e^{i2kx} \right) = \frac{1}{2}n - \Re \left( \frac{e^{2ix} (1 - e^{2nix})}{1- e^{2ix}}\right)=\\ = \frac{1}{2}n - \Re \left( \frac{e^{2ix}(1 - e^{2nix})(1 - e^{-2ix})}{(1-e^{2ix})(1 - e^{-2ix})}\right) = \frac{1}{2}n - \frac{cos2x - cos 2(n+1)x + cos2nx - 1}{2(1-cos2x)}}\)

[MagdaW]

6.
Skoro \(\displaystyle{ a ^{2} + b^{2}=4}\), to maksymalna wartość sumy a+b wynosi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2} .}\)Sprawdzamy, że gdy jedna z wielkości jest równa 0, to nierówność jest spełniona. Możemy więc założyć, że \(\displaystyle{ a+b-2\ne 0}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b+2}= \frac{ab(a+b-2)}{(a+b+2)(a+b-2)}= \frac{ab(a+b-2)}{2ab}= \frac{a+b-2}{2}}\)


\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} -1 \leqslant \sqrt{2}-1 \Rightarrow a+b \leqslant 2 \sqrt{2}}\)

Równość zachodzi wtedy, gdy a=b

[Dumel]

10. dla n nieparzystych i podzielnych przez 3 ta liczba jest podz. przez 3, bo:
dla n nieparzystych \(\displaystyle{ 50^n \equiv 2^n \equiv 2 (mod 3)}\)
dla n podz. przez 3 \(\displaystyle{ (50n+1)^{50} \equiv 151^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1(mod 3)}\)

[Wasilewski]

6) Można również podstawić:
\(\displaystyle{ a=2sinx \ \ b = 2cosx \\ x }\)
Wtedy po lewej dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{sin2x}{sinx + cosx+1}}\)
No i dochodzimy do tego, że maksimum jest dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4}}\) równe \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1}\)

[soliter]

Nie wiem, czy uznacie

8. Granatowy Pawłowski, str. 80, zad. 3.19
Pamiętałem, mimo że przerabiałem tę książkę 2,3 lata temu : )

[frej]

Wasilewski, a mógłbyś mi powiedzieć, jak doszedłeś do tego, że maksimum tyle wynosi?

[Wasilewski]

I wyda się, że tego nie liczyłem. Można standardowo, czyli policzyć pochodną i szukać jej miejsc zerowych (dość brzydkie równanie). Ale można też zauważyć, że w przedziale \(\displaystyle{ }\) licznik rośnie, i to szybciej niż mianownik, a potem oba zaczynają maleć (przy czym znowu licznik szybciej). To oczywiście tylko obserwacja i nie wystarcza jako formalny dowód; podałem to tylko jako możliwe alternatywne rozwiązanie.

[Sylwek]

ad. 2., można też skorzystać z: \(\displaystyle{ \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \ \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\) (wzór Eulera), \(\displaystyle{ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}}\), po czym w podobny sposób dochodzimy do:
\(\displaystyle{ S_n(x)=\frac{(2n+1) \sin x - sin((2n+1)x)}{4 \sin x}}\) (wybacz, nie sprawdzałem dla pewności, czy nasze wyniki są sobie równe)

ad. 6, świetnie, gdyż dla a,b dodatnich: \(\displaystyle{ a+b=\sqrt{(a+b)^2} \leqslant \sqrt{2(a^2+b^2)}=2\sqrt{2}}\), co uzasadnia późniejszą nierówność.

ad. 10 extra, sposobów na to też sporo, ja wziąłem \(\displaystyle{ n \equiv 0 \ (mod \ 5)}\) i wtedy się rozkłada ze wzorów skróconego mnożenia (zadanko z 50. polskiego OM, zadanie 1., etap 1., prawda, że proste )


P.S. ad.8, nie uznajemy , po drugie zadanko z pewnością dostępne w stu innych źródłach :>

[frej]

dzięki. Nie umiem jeszcze różniczkować, więc pochodna nie za wiele mi jeszcze tłumaczy. Ta obserwacja chociaż trochę mi wyjaśnia. Myślałem, że użyłeś jakichś tożsamości trygonometrycznych do policzenia tego i dlatego byłem ciekawy

[mol_ksiazkowy]

ad 9

Mozliwe sa dwa pzypadki (oba wykluczymy):

1
\(\displaystyle{ W(x)=x^5-x+a=(a_0x+a_1)(b_0x^4+ b_1x^3 + b_2x^2+b_3x+b_4 )}\) tj \(\displaystyle{ a_0b_0=1}\)
czyli \(\displaystyle{ a_0 =b_0=1}\) (analogiczne \(\displaystyle{ a_0 =b_0=-1}\)), Czyli \(\displaystyle{ -a_1}\) jest pierwiastkiem
\(\displaystyle{ W}\) a to sprzecznosc bo \(\displaystyle{ m^5-m}\) dzieli sie na 5, gdy m całkowite.

2. \(\displaystyle{ W(x)=x^5-x+a=(x^2-px+q)(x^3 + b_1x^2+ b_2x+b_3 )}\) Jesli \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) to pierwiastki trojmianu
\(\displaystyle{ (x^2-px+q)}\), zas xi to wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ W}\), to :
(*) \(\displaystyle{ x_1^5+ x_2^5 -(x_1+x_2) +2a=0}\) I wynika ze
\(\displaystyle{ p^5- (x_1^5+x_2^5)}\) jest całkowita podzielna przez 5.
bo \(\displaystyle{ p^5- (x_1^5+x_2^5) = 5q(p^3-3pq)+10q^2p}\)
to tez daje sprzecznosc z załozeniem o \(\displaystyle{ a}\) i z (*)

[ Dodano: 2 Lipca 2008, 17:52 ]

Sylwek napisal:

.S. ad.8, nie uznajemy , po drugie zadanko z pewnością dostępne w stu innych źródłach :>

niech \(\displaystyle{ f(0)=x, \ f(x)=y,}\) tj \(\displaystyle{ f(y)=0}\) i dalej
\(\displaystyle{ |x-0| \geq |f(x)-f(0)|=|y-x| \geq |f(y)-f(x)|=|0-y| \geq |f(0)-f(y)|=|x|}\)
tj x=y=0, tj f(0)=0

[ Dodano: 2 Lipca 2008, 20:13 ]

ad 7
Niech
\(\displaystyle{ A=b+2c+3d}\)
\(\displaystyle{ B=c+2d+3a}\)
\(\displaystyle{ C=d+2a+3b}\)
\(\displaystyle{ D=a+2b+3c}\)
tj
\(\displaystyle{ a=\frac{-5A+7B+C+D}{24}}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{-5B+7C+D+A}{24}}\)
\(\displaystyle{ c=\frac{-5C+7D+A+B}{24}}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{-5D+7A+B+C}{24}}\)

i skoro SA >= SG to
\(\displaystyle{ \frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}+\frac{d}{D} =
-\frac{20}{24}+ \frac{1}{24}((\frac{7B}{A}+\frac{C}{A}+\frac{D}{A})+(\frac{7C}{B}+\frac{D}{B}+\frac{A}{B})+( \frac{7D}{C}+\frac{A}{C}+\frac{B}{C})+ (\frac{7A}{D}+\frac{B}{D}+\frac{C}{D}) \geq -\frac{20}{24} + \frac{36}{24}= \frac{2}{3}}\)

[Menda]

7 wychodzi od razu po zastosowaniu nierówności Caushego-Szwarca w formie Engelsa, którą udowadnia się za pomocą nierówności Caushego-Szwarca.

Pozdro

[Sylwek]

ad. 8, ad. 9, wzorowo, nierówność słabiej , korzystając z lematu: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{x_i}{y_i} \geqslant \frac{(\sum_{k=1}^{n} x_i)^2}{\sum_{k=1}^{n} x_iy_i}}\) (dowodzi się za pomocą nierówności Schwarza przyjmując \(\displaystyle{ a_i=\sqrt{\frac{x_i}{y_i}}, \ b_i=\sqrt{x_iy_i}}\), pisałem o tym w jednym z poprzednich mixów) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ L\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2+d^2+2\sum_{1 \leqslant i<j\leqslant 4}a_ia_j}{4\sum_{1 \leqslant i<j\leqslant 4}a_ia_j}\geqslant \frac{2\frac{2}{3}\sum_{1 \leqslant i<j\leqslant 4}a_ia_j}{4\sum_{1 \leqslant i<j\leqslant 4}a_ia_j}=\frac{2}{3}=P}\)

P.S. Gdzie można poczytać o nierówności Cauchego-Schwarza w formie Engela? Bo to chyba inna forma mojego lematu.
P.S.2. Niedługo niektórzy ograniczą się do pisania rozwiązań w stylu: "to oczywiste"


Zostały 1,3,4,5

[Menda]

P.S. Gdzie można poczytać o nierówności Cauchego-Schwarza w formie Engela? Bo to chyba inna forma mojego lematu.

No jak dla mnie (może tylko dla mnie) Twój lemat to nierówność Caushyego-Szwarca w formie Engelsa... Chyba jest w Kourliandczyku więc uznałem ją za powszechnie znaną.

P.S.2. Niedługo niektórzy ograniczą się do pisania rozwiązań w stylu: "to oczywiste"

No, już dobrze, po prostu nie chciałem się rozpisywać

Pozdro

[TomciO]

5. Dla zadnych. Wielomian \(\displaystyle{ x^p - x}\) przyjmuje te same wartosci co wielomian zerowy, a nie ma takich samych wspolczynnikow.