miałem dziś na zaliczeniu obliczyć sume takiego szereu ale nie wiedziałem jak
Obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(7n)!}}\)
suma szregu
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
suma szregu
hmm
\(\displaystyle{ \sum_{n=1} \frac{n^2}{n!} x^n = xe^x + x^2e^x}\) to jest proste wystarczy rozpisac
\(\displaystyle{ \frac{n^2}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}+ \frac{1}{(n-2)!}}\)
i teraz jesli \(\displaystyle{ \epsilon_1,...\epsilon_7}\) to beda pierwiastki 7 mego stopnia z jednosci.
to rozwazmy takie cos
\(\displaystyle{ \sum_{\epsilon} \sum_{n=1} \frac{n^2}{n!} (\epsilon x)^n}\)
z jednej strony wiedzac ze suma ntych poteg pierwiastkow 7mego stopnia jest 0 dla niepodzielnych przez 7 i 7 dla podzielnych to jest
\(\displaystyle{ \sum_{ 7|n } \frac{7n^2}{n!} x^n}\) a z drugiej mozemy
to rozpisac z tego co wyzej.
wstawiajac x=1 i dzielac przez stala mamy wynik w postaci skonczonej,
ostatecznie
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 } \frac{7^3n^2}{(7n)!}=\sum_{\epsilon} \epsilon e^{\epsilon} + \epsilon^2e^{\epsilon}}\)
ale nie wiem jak go uproscic.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1} \frac{n^2}{n!} x^n = xe^x + x^2e^x}\) to jest proste wystarczy rozpisac
\(\displaystyle{ \frac{n^2}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}+ \frac{1}{(n-2)!}}\)
i teraz jesli \(\displaystyle{ \epsilon_1,...\epsilon_7}\) to beda pierwiastki 7 mego stopnia z jednosci.
to rozwazmy takie cos
\(\displaystyle{ \sum_{\epsilon} \sum_{n=1} \frac{n^2}{n!} (\epsilon x)^n}\)
z jednej strony wiedzac ze suma ntych poteg pierwiastkow 7mego stopnia jest 0 dla niepodzielnych przez 7 i 7 dla podzielnych to jest
\(\displaystyle{ \sum_{ 7|n } \frac{7n^2}{n!} x^n}\) a z drugiej mozemy
to rozpisac z tego co wyzej.
wstawiajac x=1 i dzielac przez stala mamy wynik w postaci skonczonej,
ostatecznie
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 } \frac{7^3n^2}{(7n)!}=\sum_{\epsilon} \epsilon e^{\epsilon} + \epsilon^2e^{\epsilon}}\)
ale nie wiem jak go uproscic.