wyznacznik macierzy

[MitS]

Witam serdecznie,

mam takie dwa zadanka na obliczenie wyznacznika macierzy:
a.)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-2&-3\\3&2&9&4\\2&3&6&1\end{array}\right|}\)

i w tym przykładzie użyłem twierdzenia Sarrusa i wyszło mi -56 czy to dobry wynik ?

b.)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}2&2&1&1&2\\0&1&1&2&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&-1\end{array}\right|}\)

niestety tu za bardzo tego twierdzenia nie mogę użyć bo wychodzi 0 (a co za tym idzie nie potrafię tego przykładu rozwiązać). Próbowałem coś zrozumieć z tw. Laplace'a ale nistety mi coś nie idzie.

Możecie pomoc mi rozwiązać ten przykłąd i wytłumaczyć krok po kroku co trzeba zrobić ?

Pozdrawiam

[kuch2r]

uwaga na przyszłosc:
metoda Sarrusa znajduje zastosowanie tylko i wylacznie dla macierzy o wymiarze \(\displaystyle{ 3\times 3}\)

[MitS]

Właśnie czytałem o tym ale czemu ? jeśli postępuje tak samo dla większych macierzy i wychodzi jakiś wynik to jest to błędnie ?

czy powyższy wynik jest prawidłowy (jeśli chodzi o pkt. a) ?

[meninio]

a.)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-2&-3\\3&2&9&4\\2&3&6&1\end{array}\right| =(K_2+K_1) =\left|\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\0&1&-2&-3\\3&5&9&4\\2&5&6&1\end{array}\right| = 1 (-1)^{1+1} ft|\begin{array}{ccc} 1&-2&-3\\5&9&4\\5&6&1\end{array}\right| = \\ \\(K_2+2K_1,K_3+3K_1) =
ft|\begin{array}{ccc} 1&-0&0\\5&19&19\\5&16&16\end{array}\right|=1 (-1)^{1+1} ft|\begin{array}{cc} 19&19\\16&16 \end{array}\right|=0}\)



b.)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}2&2&1&1&2\\0&1&1&2&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&-1\end{array}\right| =2 (-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cccc} 1&1&2&0\\1&0&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&-1\end{array}\right| =(W_4+W_3) =2 ft|\begin{array}{cccc} 1&1&2&0\\1&0&1&0\\0&1&1&1\\0&1&2&0\end{array}\right|=\\ \\ 2 1 (-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc} 1&1&2\\1&0&1\\0&1&2\end{array}\right|=(K_3-2K_2)=2\left|\begin{array}{ccc} 1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right|=2 1 (-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc} 1&1\\0&1\end{array}\right|=2}\)

[natkoza]

lub mozna tak:
a)
\(\displaystyle{ det ft[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-2&-3\\3&2&9&4\\2&3&6&1\end{array}\right]=1\cdot (-1)^{1+1}\cdot det ft[\begin{array}{ccc}1&-2&-3\\2&9&4\\3&6&1\end{array}\right]+(-1)\cdot (-1)^{1+2}\cdot det ft[\begin{array}{ccc}0&-2&-3\\3&9&4\\2&6&1\end{array}\right]=10-10=0}\)
b)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}2&2&1&1&2\\0&1&1&2&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&-1\end{array}\right]=2\cdot (-1)^{1+1}\cdot det ft[\begin{array}{cccc}1&1&2&0\\1&0&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&-1\end{array}\right]=2\cdot ((-1)^{1+1}\cdot 1\cdot (-1)^{1+1}\cdot det ft[\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&1&1\\0&2&-1\end{array}\right]+1\cdot (-1)^{2+1}\cdot det ft[\begin{array}{ccc}1&2&0\\1&1&1\\0&1&-1\end{array}\right])=2\cdot (1\cdot 1-1\cdot 0)=2}\)

[meninio]

No można tylko po co?? Zawsze jest lepiej jeszcze zwinąć wyznacznik macierzy 3x3 do wyznacznika macierzy 2x2, bo przecież jest prościej niż to potem liczyć z Sarussa. I zawsze jak zwijamy to staramy sie w wybranym wierszu lub kolumnie zrobić jak najwięcej zer, po to żeby było prościej, bo po co rozwijać macierz względem dwóch (lub więcej) elementów niezerowych jak można względem jednego (no chyba, że wszystkie elementy kolumny lub wiersza są zero to wtedy wyznacznik macierzy jest równy 0). To się Natkoza dotyczy odnośnie punktu a i b. W b pierwszy krok dobrze, ale potem już rozwijałaś względem pierwszej kolumny, a przecież można było od drugiego wiersza odjąć pierwszy wynik zapisać w drugim wierszu i już w pierwszej kolumnie miałabyś tylko jeden element niezerowy. No i potem jeszcze te wyznaczniki macierzy 3x3 zwinąć do 2x2 bo tak jest prościej i przede wszystkim szybciej.

[Amon-Ra]

No można tylko po co?? Zawsze jest lepiej jeszcze zwinąć wyznacznik macierzy 3x3 do wyznacznika macierzy 2x2

Teraz ja zapytam, po co? Opłaca się to w chwili, gdy dysponujesz sporą ilością zer w wierszu lub kolumnie, a jeżeli tak jest, to wykonanie kilku mnożeń (w których i tak będą zera) metodą Sarrusa chyba nie nastręcza sporych trudności.

[meninio]

Każdy ma swoja wizję