Ekstremum funkcji dwóch zmiennych ...

[Benek_Majonez]

Sprawdź czy funkcja \(\displaystyle{ F(x, y ) =(2y + x^{2} + 2 ) e^{y}}\) ma w pkt (1 : - 1 ) ekstremum ...

[miki999]

Wyznaczasz najpierw pochodną względem x, potem względem y,
Oba równania przyrównujesz do 0, budujesz układ równań i go rozwiązujesz.

Jeżeli pkt. (1; -1) jest rozwiązaniem układu to może tam istnieć ekstremum. Jeżeli nie- to nie:P.

Jeżeli spełnia ten warunek to budujesz czteroelementową macierz: górny lewy róg podwójna pochodna względem x, przeciwny róg podwójna pochodna względem y, pozostałe 2 elementy to 2. pochodna dxdy. Oczywiście mam na myśli wartości tych pochodnych w tym pkt.

Wyznacznik >0 jest ekstremum w przeciwnym wypadku brak.

Pozdrawiam.

[Johan]

Wyznacznik >0 jest ekstremum w przeciwnym wypadku brak.

Nie do końca bo gdy wyznacznik jest równy zero to jednak tam może być ekstremum (choć nie musi).

[miki999]

Słuszna uwaga, ale przeciwny wypadek to wyznacznik mniejszy od zera :>

[JankoS]

Słuszna uwaga, ale przeciwny wypadek to wyznacznik mniejszy od zera :>

Dlaczego? Z kontekstu "Wyznacznik >0 jest ekstremum w przeciwnym wypadku brak.", przeciwnym przypadkiem jest taki, w którym wyznacznik nie jest dodatni.

[Benek_Majonez]

A czy mógłby to ktoś obliczyć ?

[JankoS]

Sprawdź czy funkcja \(\displaystyle{ F(x, y ) =(2y + x^{2} + 2 ) e^{y}}\) ma w pkt (1 : - 1 ) ekstremum ...

\(\displaystyle{ F(x, y ) =2ye ^{y} + x^{2}e ^{y} + 2 e ^{y}.}\)
\(\displaystyle{ F ^{'} _{x}=2xe ^{y}; \ F ^{'} _{y}= 2e ^{y}+2ye ^{y}+x ^{2}e ^{y}+2e ^{y}=e ^{y}(2+2y+x ^{2}+2).}\)
\(\displaystyle{ F ^{'} _{x}(1,-1)=\frac{2}{e}.}\)
W danym punkcje pierwsze pochodne nie są równe 0. Funkcja nie ma w nim ekstremum.