Nierówność wymierna z modułem

[MakCis]

\(\displaystyle{ \frac{4x-5}{|x-2|} qslant 0}\)

Oto jak ja robiłem, po kolei:

Najpierw dziedzina: \(\displaystyle{ D=R\{2}}\)

Rozpisanie modułu:

\(\displaystyle{ |x-2| = \begin{cases} x-2 : x qslant 2 \\ -x+2 : x < 2 \end{cases}}\)

No i rozpatruję dwa przypadki:

\(\displaystyle{ 1. x ( - ; 2 )}\)

Uwzględniając ten przedział, moduł zmienił znak, zatem:

\(\displaystyle{ \frac{4x-5}{-x+2} qslant 0 \\ (4x-5)(-x+2) qslant 0}\)

Rozwiązaniem tej funkcji jest przedział \(\displaystyle{ < \frac{5}{4} ; 2 )}\)

No i teraz drugi przypadek:


2. \(\displaystyle{ x \cup (2 ; +\infty)}\)

Jednakże po uwzględnieniu przedziału w którym rozpatrywałem funkcję prawidłowym rozw. będzie przedział \(\displaystyle{ x (2 ;+ )}\)

No i teraz muszę znaleźć wspólne rozwiązanie przedziałów, z przypadku pierwszego i drugiego. Mi wychodzi że jest to zbiór pusty, czyli bzdura...

Niech ktoś mi powie co ja tu robię źle.

[Deltaaa]

to nie ma być część wspólna tylko suma przedziałów
rozwiązaniem będzie
x \(\displaystyle{ \in}\)< \(\displaystyle{ \frac{5}{4}}\),2)\(\displaystyle{ \cup}\)(2, \(\displaystyle{ \infty}\))

[MakCis]

A dlaczego suma?

[Deltaaa]

bo jak masz warunek x \(\displaystyle{ \in}\)(- \(\displaystyle{ \infty}\),2) i x \(\displaystyle{ \in}\)

[lila]

w definicji wartosci bezwzglednej, ktora rozpisales - miedzy tymi kryteriami jest LUB.
Dlatego trzeba na koniec wziac sume tych przedzialow i to jest rozwiazanie.

[MakCis]

A jeśli mam taką nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{|x+2|}{x-4} < 0}\)

Prawidłowe rozwiązanie znajduje po znalezieniu wspólnej częsci przedziałów. Tak więc kompletnie tego nie rozumiem, raz musze znaleźć wspólną część a raz zsumować przedziały :/

[frej]

to akurat patrzysz kiedy mianownik jest ujemny a licznik niezerowy...
ale jak by była inna liczba zamiast zera, to też byś brał sumę przedziałów.
sumę bo rozwiązaniem muszą być wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność, a nie tylko powiedzmy część

[MakCis]

No to czemu w tej nierówności biorę wspólną część a nie sumę ?

[frej]

gdzie bierzesz część wspólną??

[MakCis]

1. \(\displaystyle{ \frac{4x-5}{|x-2|} qslant 0}\) w tym przykładzie musiałem zsumować dwa przedziały.

2. \(\displaystyle{ \frac{|x+2|}{x-4}}\)

[frej]

pokaż jak rozwiązujesz do drugie

[MakCis]

Dobra, nieważne, już sobie poradziłem. Wystarczyło stwierdzić, że licznik jest zawsze liczbą dodatnią zatem wystarczy jeśli mianownik będzie mniejszy od zera, oraz iks będzie rózny od -2 i 4.

A jak zrobić np taki przykład:

\(\displaystyle{ \frac{2x - x^2}{|x^2 - 4|} q 2}\)

[frej]

mianownik jest zawsze dodatni ( po określeniu dziedziny ) więc możesz wymnożyć i dwa przedziały uwzględnić ( w sensie chodzi o wartość bezwzględną)

[MakCis]

No ale w sumie ta wartość bezwzględna będzie zawsze nieujemna prawda? Nie wystarczy, że rozwiązę taką nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{2x - x^2}{x^2 - 4} - 2 q 0}\)

[frej]

nie, bo dla \(\displaystyle{ x (-2,2)}\) ta nierówność wygląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{2x - x^2}{4-x^2} q 2}\)