równanie różniczkowe (o zmiennych rozdzielonych, chyba)

[szd]

\(\displaystyle{ \frac{2x}{y^{3}} + \frac{y^{2} - 3x^{2}}{y^{4}}y`=0}\)

doszedłem do następującego przekształcenia: \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{-2xy}{y^{2} - 3x^{2}}}\) ale nie potrafię ruszyć dalej... :/

[luka52]

Podziel licznik i mianownik prawej strony równania przez \(\displaystyle{ x^2}\), a następnie podstaw \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\).

[szd]

OK, ale jak postępuje dalej??

mam: \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{-2 \frac{y}{x} }{ \frac{y^{2}}{x} - 3 }}\); następnie robie podstawienie: \(\displaystyle{ u= \frac{y}{x}}\) oraz obliczam: \(\displaystyle{ du= \frac{dy}{x}}\) i liczę dalej:
\(\displaystyle{ \frac{x du}{dx} = \frac{-2u}{u^{2} - 3}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} t \frac{u^{2}-3}{u} = ln ft| x \right|+C}\)
\(\displaystyle{ - \frac{u^{2}}{4} + \frac{3}{2}ln ft|u \right|= ln ft|x \right| + C}\)
i co dalej?? Dobrze w ogóle to jest??

[luka52]

Nie. W podstawieniu jest \(\displaystyle{ u(x) = \frac{y(x)}{x}}\), czyli y=ux oraz y'=u'x+u.

[szd]

Nie rozumiem... :/ Mógłbyś jakoś trochę jaśniej?

[Rogal]

Wyjściowe równanie mnożymy stronami przez y^2 i podstawiamy u = y/x, skad mamy y = ux, czyli dy/dx = xdu/dx + u. Wstawiamy wszystko do równania i otrzymujemy \(\displaystyle{ u+\frac{1}{u} + x\frac{du}{dx}(1-\frac{1}{u^{2}}) = 0}\).
Podstawiamy \(\displaystyle{ t = u+\frac{1}{u}}\) i dostajemy tdx + xdt = 0, z czym już nie powinno być żadnego problemu