Całka podwojna, zmiana zmiennych

[axxo]

Witam,
Taki problem:
Stosując zmiane zmiennych, obliczyc całki podwójne.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} _{D} \sqrt{9- x^{2}- y^{2} } dxdy}\) gdzie \(\displaystyle{ D= ft( x,y\right): x^{2} + y^{2} qslant 3x}\)

Wychodzi okrag przesuniety w prawo o \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) o promieniu \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)

Przechodzac na wspolrzedne biedunowe otrzymuje... i tu wlasnie jest problem nie wiem jak wyznaczyc \(\displaystyle{ e}\) Jezeli ktos mogl by mi wytlumaczyc jak postepowac z tego typu zadaniami bede wdzieczny. Problemu nie ma gdy powierzchnia nie jest przesunieta.
\(\displaystyle{ ? qslant e qslant ?}\)
\(\displaystyle{ 0\leqslant r qslant3cose}\)

Pozdrawiam,

[N4RQ5]

Rozumiem że e to kąt nachylenie promienia. Ogólnie można wcześniej zastosować przesunięcie tak by ustawić koło w centrum układu współrzędnych. Podstawić t=x-3/2. Dalej jest to już zwykłe całkowanie po okręgu.

Alternatywą jest, tak jak zacząłeś, uzależnienie promienia od kąta. Gdy okrąg przesuwamy w bok tak by punkt (0,0) leżał na jego brzegu to jest on zwyczajnie styczny do osi OY. Tak więc kąt przechodzi od \(\displaystyle{ -\frac\pi2}\) do \(\displaystyle{ \frac\pi2}\). (Od pionowo w dół do pionowo w górę.

Sam wybierz co jest prostsze

[axxo]

Drugi sposob rozumiem, ale jezeli chodzi o pierwszy to co masz na mysli mowiac calkowanie po okregu?

[N4RQ5]

Źle napisałem. Nie okręgu a kole. Po przesunięciu masz normalne koło o środku w (0,0) na którym bardzo ładnie działają współrzędne biegunowe.

[axxo]

A mozesz to pokazac na tym wlasnie przykladzie?

[N4RQ5]

Akurat ten konkretny przykład jest parszywy do takich przesunięć gdyż funkcja po podstawieniu robi się nie fajna. Rozpisałem to sobie i wyszła niezbyt sympatyczna całka. Zatem druga metoda jest w tym przypadku lepsza. Ale warto pamiętać że czasem przesunięcie jest pomocne. I można je robić bezkarnie bo przy zwykłym przesunięciu jego Jakobian jest zawsze 1.