Masa krzywej

[szd]

Wyznaczyć masę krzywej, jeżeli gęstość jest równa wartości bezwzględnej trzeciej współrzędnej punktu

\(\displaystyle{ L: x=tcost}\)
\(\displaystyle{ y=tsint}\)
\(\displaystyle{ z=t}\)

\(\displaystyle{ t [0; 1]}\)

Jak w ogóle liczy się tego typu całki, bo nasz doktor od ćwiczeń uwielbia takie zadania, a na pewno jest jakiś wzór na zapisanie całki.

Dziękuje za pomoc!

[Emiel Regis]

Masa krzywej to jest całka po tej krzywej z gęstości. U Ciebie tak to bedzie wygladalo:

\(\displaystyle{ m = t_L \rho(x,y,z) ds = t_L |z| ds}\)

[szd]

nie bardzo dalej rozumiem:/

m=\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}|z|dz}\)
??
a z interpretujemy w jaki sposób?

[luka52]

\(\displaystyle{ \mbox d s = \sqrt{x_t'^2 + y_t'^2 + z_t'^2} \, \mbox d t dz}\)

[szd]

W takim razie powinno to wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \frac{ x}{ t} = cost - tsint}\)

\(\displaystyle{ \frac{ y}{ t} = sint + tcost}\)

\(\displaystyle{ \frac{ z}{ t} = 1}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt{cos^{2}t - 2tcostsint + t^{2}sin^{2}t + sin^{2}t + 2tcostsint + t^{2}cos^{2}t + 1}dt= t_{0}^{1} \sqrt{2+t^{2}}dt = \frac{ \sqrt{27} }{3}}\)

[luka52]

x, y i z są funkcjami jednej zmiennej więc nie ma powodu by używać znaku \(\displaystyle{ \partial}\). Dodatkowo źle policzyłeś pochodne.

[szd]

Wysłałem jeszcze raz, poprawione. Zapomniałem tylko usunąć znaku \(\displaystyle{ \partial}\).