Wyznaczyć ektreama lokalne funkzji z logarytmem naturalnym

[szd]

Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y) = \(\displaystyle{ ln(x+y)-x ^{2}- y^{2}}\) .

obliczyłem pochodne cząstkowe: \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{1}{x+y}-2x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial y} = \frac{1}{x+y}-2y}\)

Pprzyrównuje do 0. Wychodzi mi, że:
z pierwszej pochodnej: \(\displaystyle{ y= \frac{1-2x}{2x}}\)
wstawiając do drugiego: \(\displaystyle{ 4x^{3}-4x^{2}+4x-1=0}\).
Chyba jakaś bzdura...:/
Aha no i nie wiem czy powinno być założenie że x+y>0 ??

[meninio]

\(\displaystyle{ \frac{ f}{ x} = \frac{1}{x+y}-2x=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ y} = \frac{1}{x+y}-2y =0}\)

Odejmuje stronami i dostaję:
\(\displaystyle{ -2x+2y=0 x=y}\)

Wstawiam to do równania obojętnie którego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2x}-2x=0 1-4x^2=0 x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}}\)

[szd]

a obowiązuje założenie x+y>0 bo z tego wynikałoby że nie ma punktu podejrzanego o ekstremum???

[meninio]

Nie.
No tak x+y>0 więc z tego wynika, że tylko jeden punkt rozpatrujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}}\)

[szd]

\(\displaystyle{ P_{0} ( \frac{1}{2}; \frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial x \partial y} = - \frac{1}{(x+y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial y \partial x} = - \frac{1}{(x+y)^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial^{2}x } = - \frac{1}{(x+y)^{2}} - 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial^{2}y } = - \frac{1}{(x+y)^{2}} - 2}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial^{2}x }(x _{0} ; y_{0}) = -3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial^{2}y }(x _{0} ; y_{0}) = -3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial x \partial y}(x _{0} ; y_{0}) = -1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial y \partial x}(x _{0} ; y_{0}) = -1}\)


\(\displaystyle{ W(x_{0}; y_{0}) = 8 >0}\)

ale \(\displaystyle{ \frac{ f^{2}}{ ^{2} x } = -3 }\)maksimum w \(\displaystyle{ P_{0}}\)

[meninio]

Wg moich obliczeń:

\(\displaystyle{ W(x_0,y_0)=0}\)

Więc wychodzi nam na to, że jest to przypadek wątpliwy i ta metoda tego nie rozstrzyga czy w tym punkcie jest minimum czy maksimum czy może nic tam nie ma..

[szd]

jeżeli pochodnę cząstkowe sa dobrze, to jak Ci może wyznacznik wyjść 0?

[meninio]

Sorry pomyliło mi się ................. Masz rację!! Przepraszam

[szd]

W takim razie pora nacisnąć "Pomógł"