Dowód Tw. o granicy iloczynu

[Kobcio]

Bardzo bym prosił o napisanie dowodu Twierdzenia o granicy iloczynu, najlepiej z komentarzami bo jakoś sam nie mogę wpaść, a to co na ten temat pisze Sierpiński w swojej książce do mnie nie trafia (tzn. nie rozumiem skąd, co i po co ), Tw. o sumie granic to jeszcze "mało wiele" wiem jak dowodzić, ale o iloczynie to już problem z góry dzięki

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ a_n a \ \ \ b_n b \\
|a_n b_n - ab| = | (a_n - a) b_n + (b_n - b)a| qslant |a_n - a|\cdot |b_n| + |b_n - b| |a|}\)
Od pewnego momentu zachodzi na przykład:
\(\displaystyle{ b_n qslant |b+\frac{1}{2}|}\)
Oczywiście widać dwa moduły zbiegające do zera, mnożone są przez rzeczy ograniczone, zatem to wyrażenie może być dowolnie bliskie zera. Jeśli jeszcze nie widać, to pisz.

[Kobcio]

Ok, już widzę od drugiej strony podejście, ale w porządku bo u Sierpińskiego to było wyjście od tego, że \(\displaystyle{ \left|a_{n} - a \right| < \epsilon_{1} ft|b_{n} - b \right| < \epsilon_{2}}\) i od tego dochodził do granicy iloczynu, ale to było dość zawzięte jeszcze raz dzięki