Metryka

[KoMBiNaT]

Niech (X,d) będize przestrzenią metryczną. Pokazać, że \(\displaystyle{ d_{1}}\) określona wzorem:
\(\displaystyle{ d_{1}(x,y)= \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}}\) też jest metryką.

[Wasilewski]

Rozumiem, że problem jest z warunkiem trójkąta. Oznaczmy:
\(\displaystyle{ d(x,z) = a \\
d(z,y) = b \\
d(x,y) = c}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ c \leqslant a + b}\)
Mamy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} \geqslant \frac{c}{1+c} \\
\frac{1 + a - 1}{1+a} + \frac{b + 1 - 1}{1+b} \geqslant \frac{c+1 - 1}{1+c} \\
2 - \left(\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b}\right) \geqslant 1 - \frac{1}{1+c} \\
1 + \frac{1}{1+c} \geqslant \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} \\
\frac{1}{1+c} \geqslant \frac{1}{1+a+b} \\
1 + \frac{1}{1+a+b} \geqslant \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} \ \ |\cdot (1+a+b) \\
2 + a + b \geqslant 2 + \frac{a}{1+b} + \frac{b}{1+a} \\
a + b \geqslant \frac{a}{1+b} + \frac{b}{1+a}}\)
A to już jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ a \geqslant \frac{a}{1+b}}\) i \(\displaystyle{ b \geqslant \frac{b}{1+a}}\)
Z pewnością istnieje prostszy sposób na tę nierówność.