minimum i maxium

[lled3]

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^2-2y^2}\)

w kole

\(\displaystyle{ x^2+y^2=36}\)


mam pewien problem ze znalezieniem punktóe lezacych na okregu:
- dziele okrag na dwie czesci:

\(\displaystyle{ y=+/- \sqrt{36-x^2}}\)

i co nie podstawie do wzoru funkcji - czy y=+... y=-...

dostaje

\(\displaystyle{ y=x^2-2(36-x^2)}\)

skad po policzeniu pochodnej wychodzi punkt o wsp. x = 0 po podstawieniu do wzoru półokregu 6

w sumei dostaje 3 punkty

0,0
0,6
0,-6

i wychodzi ze MIN jest w punktach 0,6 i 0,-6 a MAX w 0,0

i jakos malo chyba tych punktow ?

[Brzytwa]

1) Po pierwsze chyba łatwiej przekształcić równanie okręgu do postaci \(\displaystyle{ y^{2}=36-x^{2}}\) a następnie podstawić do wyjściowej funkcji.

2) \(\displaystyle{ f(x,y)=x^{2}-2y^{2}=x^{2}-2(36-x^{2})=3x^{2}-72}\)

Oczywiście minimum jest dla \(\displaystyle{ x=0}\), skąd dostajemy 2 punkty \(\displaystyle{ (0,6)}\) i \(\displaystyle{ (0,-6)}\). Natomiast skąd wziąłeś punkt \(\displaystyle{ 0,0}\), to ja nie wiem. Ten punkt leży nawet po za okręgiem. W każdym razie dostaliśmy funkcję kwadratową ramionami do góry, zatem maksimum przyjmuje na końcach przedziałów. Stąd otrzymujemy maksimum dla punktów \(\displaystyle{ (6,0)}\) i \(\displaystyle{ (-6,0)}\).

[lled3]

przeciez 0,0 jest srodkiem okregu ... ? to jak moze nie nalezec do okregu ?

hmmmm . i dalej nie wiem jskad wzioles maksimum ? w koncach przedzialow ? - ale jakich ?

[micholak]

Pozwole sobie tylko zauwazyc ze na oko (i chyba przyzwoite) z definicji jest w (0,0) siodełko

[Brzytwa]

przeciez 0,0 jest srodkiem okregu ... ? to jak moze nie nalezec do okregu ?

A od kiedy środek okręgu należy do okręgu? Okrąg to zbiór punktów równo oddalonych od jego środka, do których środek okręgu nie może należeć.

hmmmm . i dalej nie wiem jskad wzioles maksimum ? w koncach przedzialow ? - ale jakich ?

Równanie okręgu jest następujące:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=36}\)

Z racji nieujemności \(\displaystyle{ y^{2}}\) mamy \(\displaystyle{ x }\).

[lled3]

ale wartosci min i max szukamy nie tylko na brzegu - ale takze i wewnątrz okręgu ...

nadal nie rozumie tej nieujemnosci y^2 - co ma ona do x ? ?

[Brzytwa]

ale wartosci min i max szukamy nie tylko na brzegu - ale takze i wewnątrz okręgu

Jeśli tak, to szukamy w kole, a nie w okręgu. Ale rozwiązanie to i tak nie zmienia.

nadal nie rozumie tej nieujemnosci y^2 - co ma ona do x ? ?

\(\displaystyle{ y^{2}}\)\(\displaystyle{ \geqslant}\)\(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}}\)\(\displaystyle{ +}\)\(\displaystyle{ y^{2}}\)\(\displaystyle{ \geqslant}\)\(\displaystyle{ x^{2}}\)
\(\displaystyle{ 36}\)\(\displaystyle{ \geqslant}\)\(\displaystyle{ x^{2}}\)
\(\displaystyle{ (}\)\(\displaystyle{ x}\)\(\displaystyle{ +}\)\(\displaystyle{ 6}\)\(\displaystyle{ )}\)\(\displaystyle{ (}\)\(\displaystyle{ x}\)\(\displaystyle{ -}\)\(\displaystyle{ 6}\)\(\displaystyle{ )}\)\(\displaystyle{ \leqslant}\)\(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ x }\)

A wartości max szukamy tylko na brzegu, bo funkcja kwadratowa ma tylko jedno ekstremum, a tutaj, jak wcześniej wykazałem, ma jedynie minimum.

[lled3]

ok, ale czemu zakładasz że y^ ma byc wieksze od 0 ? skad takie zalozenie

1. szukamy punktow podejrzanych o ekstrema obliczajac pochodne po x i y i przyrownujac je do 0
2. wstawiamy funkcje opisujaca obszar do naszej funkcji wyjsciowej (wyliczajac z niej y) - otrzymujemy funkcje jednej zmiennej - liczymy pochodna i mamy punkt x - wyliczamy y

3. ... ?

4. Obliczamy dloa kazdego punktu wartosc funkcji i wybieramy ta MAX i MIN

a jak brzmi ten 3 punkt ? co w nim robisz ?

[Brzytwa]

ok, ale czemu zakładasz że y^ ma byc wieksze od 0 ? skad takie zalozenie

Jest to jedna z podstawowych własności liczb rzeczywistych.

a jak brzmi ten 3 punkt ? co w nim robisz ?

Otrzymaliśmy funkcję kwadratową jednej zmiennej, której mamy znaleźć min i max na przedziale (-6,6). Jasne jest, że każdy trójmian kwadratowy ma dokładnie jedno ekstremum. W tym przypadku jest to minimum. Stąd mamy wartość minimalną danego wyrażenia. Ponieważ jak już wspomniałem jedynym ekstremem jest minimum, tak więc maksimów nie ma. Oznacza to, że zawsze w sąsiedztwie znajdziemy punkt o większej wartości. Zatem maksymalną wartość możemy uzyskać jedynie na końcach przedziału. Po sprawdzeniu otrzymujemy, iż wartość maksymalna danego wyrażenia jest na obu końcach.

[lled3]

\(\displaystyle{ 3x^2=72}\)

podstawiajac za x=6 czy -6 nie dostaniemy 72 ...

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ 3x^2=72}\)

A kto ci każe przyrównywać tę funkcję do 0?