całka z tw. o residuach

[redemptorek]

\(\displaystyle{ \oint_{K ^{+} }^{} \frac{dz}{z(z-2) ^{2} (z+1) ^{3} }}\), gdzie K: |z-1-j|=2 tj. K=K(1+j; 2)

tw. o residuach: \(\displaystyle{ \oint_{K}^{} f(z)dz=2\pi j \sum_{i=1}^{n} res _{z _{i} } f(z)}\)

zatem tu \(\displaystyle{ \oint_{K ^{+} }^{} f(z)dz= 2\pi j (res _{0}f(z) + res_{2}f(z) +res_{-1} f(z))}\), gdzie \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z(z-2) ^{2} (z+1) ^{3} }}\)
moja wątpliwosć dotyczy ostatniego składnika: punkt z=-1 leży poza okręgiem K - czy należy wiec rozpatrywać res w tym punkcie?

[mariusz198787]

nie bo zgodnie z twierdzeniem Couchyego calka z funkcji w tym punkcie jest równa 0