analiza funkcjonalna - operator liniowy

[eryk003]

ktoś potrafi to rozwiązać?
Wykazać, że operator liniowy \(\displaystyle{ T:L_2([-3,3])\rightarrow L_2([-3,3])}\) dany wzorem \(\displaystyle{ (Tf)(t)=t\int_{-3}^{3} sf(s)ds}\) dla każdego \(\displaystyle{ f L_2([-3,3])}\) i \(\displaystyle{ t [-3,3]}\) jest ograniczony. Wyznaczyć jego normę.

[micholak]

\(\displaystyle{ \| Tf \|_{2} = \| t \|_{2}\left| t_{-3}^{3} sf(s) ds \right| q}\) wyrzucilismy stala przed calke
\(\displaystyle{ \leq \| t \|_{2}^{2} \|f\|_{2}}\) z nierownosci Holdera

Mam nadzieje ze zapis zrozumialy piszac t, mam na mysli tak naprawde g(t)=t...

Co do normy to wystarczy wiedziec kiedy zachodza rownosci w uzytych nierownosciach - tu da sie znalezc taka funkce ze rownosci beda caly czas

[eryk003]

mógł byś rozpisać to krok po kroku?

[micholak]

Hmmm tu w zasadzi wszystko jest krok po kroku...
Moze powiesz co nie jest jasne?

Bo myslę zę wiesz jak wyglada druga norma, i nierownosc Holdera, oraz kiedy zachodzi w niej rownosc. Moze jeszcze napisze to oznaczenie ktore moze jest nieszczesliwe

\(\displaystyle{ \| t \|_{2} = \sqrt{ t_{-3}^{3} t^{2} dt }}\)

to w zasadzi taki brzydki skrot ale mysle ze wiadomo o co chodzi...

[zzz1986]

W nierówności Holdera podstawiłeś:
\(\displaystyle{ \left(Tf \right)=f}\), a \(\displaystyle{ \left(f \right)=g}\)?
Czy wyznaczenie normy oznacza policzenia całki z całki danej w zadaniu?

[micholak]

nierownosc Holdera zastosowalem nastepujaco
\(\displaystyle{ \left| t_{-3}^{3} sf(s) ds \right| q \|f \| _{2} \sqrt{ t_{-3}^{3} s^{2} ds }}\)

I moj blad powinna byc nierownosc tam oczywiscie, juz poprawiam

wyznaczenie normy jest bardziej pracochlonne
mozna np obliczyc w ten sposob
\(\displaystyle{ \|T\| = \sup_{ \|f\|_{2} q 1} \| Tf \|_{2}}\)

Nierownosc w jedna strone jest, a korzystajac z faktu kiedy w nierownosci Holdera jest rownosc otrzyma sie nierownosc w druga strone